Involutionen harmonischer Polaren und Pole. 32. 117 
auf K, K', K" zugleich conjugiert ist, und dass diese Paare die 
Endpunkts-Paare seiner Durchmesser sind. 
8) Durch einen Punkt P, einen Kreis K und eine Gerade g 
ist ein Kreis K* bestimmt, der den erstem enthält, zum zweiten 
orthogonal ist und seinen Mittelpunkt in der dritten hat; denn der 
selbe geht auch durch P*, den Schnittpunkt der Polare von P mit 
dem nach P gehenden Durchmesser; die zu PP* normale Halbie 
rende schneidet g in seinem Mittelpunkt. Oder auch, weil er ausser 
P die zwei vorerwähnten festen Punkte in dem zu g normalen 
Durchmesser enthält, welche man leicht ermittelt. (Vergl. § 34., 8.) 
9) Die Polare eines Punktes des Kegelschnitts ist die Tangente 
desselben in ihm und der Pol einer Tangente ist ihr Berührungs 
punkt. Die Reihe der Punkte Ä, B, C, ... in der Tangente t und das 
Büschel der ihnen entsprechenden Polaren a, b, c, ... sind pro- 
.jectivisch oder das Doppelverhältniss von vier Punkten eines Kegel 
schnitts ist dem der entsprechenden Tangenten desselben gleich. 
(Yergl. § 24., p. 83.) 
10) Die Involution harmonischer Pole in der Tangente t ist 
parabolisch (§ 31.; 4,), die entsprechenden A t , B t , ... aller Punkte 
A, B, ... sind im Berührungspunkte T vereinigt. Ebenso ist die 
Involution harmonischer Polaren aus einem Punkte des Kegelschnitts 
parabolisch. 
11) Ein Pol P, seine Polare, die Involution harmoni 
scher Polarenum jenen oder harmonischerPole auf dieser 
und einPunkt T, respective eine Tangente t des Kegel 
schnittes bestimmen denselben. Man entwickele die Construc 
tion : Man bestimmt in TP zu seinem Schnitt T* in p den vierten har 
monischen T', der dem Kegelschnitt angehört. Ihm entspricht in der 
Involution der Punkt T", der das perspectivische Centrum der den 
Kegelschnitt erzeugenden Büschel T, T' ist und daher aus den be 
kannten Paaren desselben sich ergiebt. 
Die Punkte P, P liefern mit jedem Paare Z, Z, der Involution 
durch PZ, P'Zy; PZ,, P'Z zwei Punkte des Kegelschnitts, die auf einer 
durch P gehenden Geraden liegen. 
Lässt man den Punkt T oder die Tangente t variieren, so er- 
hältman ein Büschel oder eine Schaar von Kegelschnitten mit 
reeller oder nicht reeller doppelter Berührung. 
12) Durch drei Punkte A, B, C und die Involution har 
monischer Pole in einer Geraden p ist ein Kegelschnitt 
bestimmt. Seien X und Y die Punkte von p, welche den Geraden 
AB, BC angehören und X v , F, ihre entsprechenden in der Involution, 
sowie X' und Y' ihre harmonisch conjugierten in Bezug auf A B und 
BC, so ist der Schnittpunkt von X'X i mit F'F, der Pol P von p und 
man erhält durch CF, und AX, den Punkt B' des Kegelschnitts, 
der mit B auf einer Geraden durch den Pol liegt. Damit aber 
findet man durch BZ, BZ { und PZj, B Z stets Punkte des Kegel 
schnitts in einer durch P gehenden Geraden.