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Zur zweiten Auflage. 
sprechenden Nullstrecken und Nullwinkel zur Deckung kommen, 
bei der andern aber nicht, während uns die centrische Colline- 
ation A — — 1 mit ihren stets reellen Doppelelementen 
nur den ersten Fall zeigt. Man bemerkt zugleich, dass die 
vereinigten projectivischen Reihen respective Büschel bei ihr 
stets von entgegengesetztem Sinne sind und dass die entgegen 
gesetzte Umlegung derselben Projection eine Collineation A 
— -}- 1 liefert, § 19., 7. 8., deren Doppelelemente stets, natür 
lich in Symmetrie zu Q', II, etc., vereinigt sind und für deren 
sämmtliche vereinigte entsprechende Reihen und Büschel Ueber- 
einstimmung des Sinnes stattfindet. Yon da aus schliesst sich 
die weitere constructive Bemerkung an, dass die beiden ent 
gegengesetzten Umlegungen einer beliebigen nicht harmonischen 
Projection sich immer dadurch unterscheiden, dass bei der einen 
der entgegengesetzte Sinn in den vereinigten Reihen, etc. 
und die Lage der Gegenpunkte zwischen den Doppelpunkten 
etc. (bei A = — 1 in ihrer Mitte vereinigt), bei der andern 
aber der gleiche Sinn in den vereinigten Reihen und die 
Lage der Doppelpunkte zwischen den Gegenpunkten (bei A 
— -f- 1 in ihrer Mitte vereinigt) stattfindet; und man ist so 
durch die constructiven Facta zu der Einsicht hingedrängt, 
die eine Betrachtung der correspondierenden Bewegung in pro 
jectivischen ineinanderliegenden Gebilden sofort begründet, dass 
bei entgegengesetztem Sinn Doppelpunkte ausserhalb der Strecke 
der Gegenpunkte stets existieren müssen, während sie bei 
gleichem Sinn nur zwischen den Gegenpunkten existieren können, 
und damit auch zur Steiner’schen Construction derselben aus 
Differenz und Product, oder aus Summe und Product der Ab 
stände von den Gegenpunkten (§ 19., 13 f.). 
Mir scheint, die Natürlichkeit und so zu sagen innere 
Nothwendigkeit dieser Entwickelung spricht für sich 
selbst. Und der Vergleich mit Steiner’s „Systemat. Ent 
wickelung“ etc. §§ 16., 17. p. 57, 67 f. lässt speciell in diesem 
Punkte recht wohl die Möglichkeit zu, dass die Gedankenent 
wickelung des grossen Geometers, durch die Anschauung des 
constructiven Zusammenhangs geleitet, eine der hier skizzierten 
analoge gewesen sei. 
Dass auf demselben Wege die Natur der Involution 
am besten und vollständigsten verständlich gemacht wird, ist 
oflenbar. Und wenn man angesichts der wieder aufgefundenen