Full text: Die darstellende Geometrie in organischer Verbindung mit der Geometrie der Lage

Collincare und rcciproke Räume im Allgemeinen. 44. 151 
Weise construiert man durch Wiederholung oder ebenso direct 
entsprechende Gerade und entsprechende Ebenen beider Systeme. 
Den unendlich fernen Punkten Q des einen Systems entsprechen 
die Punkte der Gegenebene Q, des andern und den unendlich 
fernen Punkten i?j in diesem die der Gegenebene R in jenem 
System ; welche beide man somit ebenfalls leicht ermittelt. 
Ist dann im System des Bildraums E, eine zur Gegenebene 
Q, parallele Ebene, so wird die entsprechende Ebene E des 
Originalraums zu R parallel sein und die in beiden Ebenen ent 
haltenen Systeme werden zu einander affin sein, den Rich 
tungen der einen entsprechen Richtungen der andern, ohne dass 
jedoch allgemein die Richtungsunterschiede hier den entsprech 
enden Richtungsunterschieden dort gleich sein werden. Diess 
Letztere ist aber der specielle Character, welchen entsprechende 
ebene Systeme von der Stellung der Gegenebenen in centrisch 
collinearen Räumen besitzen, weil ihre unendlich ferne Gerade 
zugleich ihre Collineationsaxe ist, d, h. Punkt für Punkt sich 
selbst entspricht. Damit ist erwiesen, dass collineare räum- 
iche Systeme im Allgemeinen nicht in centrische 
oder perspectivische Lage übergeführt werden kön 
nen (vergl. §22.), dass vielmehr diese Möglichkeit von besondern 
Eigenschaften derselben abhängt. Die Darstellungsmethoden 
haben es stets nur mit centrisch collinearen Systemen zu thun. 
Reciproken räumlichen Systemen (vergl. § 23.) wer 
den wir später begegnen. Sie sind im allgemeinen Falle auch durch 
fünf Punkte der einen und die fünf entsprechenden Ebenen des 
andern Raumes bestimmt, wenn keine vier von jenen in einer 
Ebene liegen und also keine vier von diesen durch einen Punkt 
gehen. Auch hier erfordert die Construction des entsprechen 
den zu einem gegebenen Element die dreimalige Wiederholung 
der Elementarconstruction des vierten Elements in projectivi- 
schen Gebilden erster Stufe, 
1) Wenn zwei collineare räumliche Systeme ein ebenes System 
entsprechend gemein haben, so haben sie auch einen Strahlenbündel 
entsprechend gemein und umgekehrt. Man erläutere insbesondere den 
Zusammenhang dieses Satzes mit dem in § 38.; 2. 
2) Die Bestimmung der centrisch collinearen räumlichen Systeme 
durch Centrum und Ebene der Collineation sowie eine der Gegen 
ebenen ist eine specielle Form der Bestimmung durch fünf Paare ent 
sprechender Punkte. Das Centrum und drei Punkte der Collineations-
	        
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