Collincare und rcciproke Räume im Allgemeinen. 44. 151
Weise construiert man durch Wiederholung oder ebenso direct
entsprechende Gerade und entsprechende Ebenen beider Systeme.
Den unendlich fernen Punkten Q des einen Systems entsprechen
die Punkte der Gegenebene Q, des andern und den unendlich
fernen Punkten i?j in diesem die der Gegenebene R in jenem
System ; welche beide man somit ebenfalls leicht ermittelt.
Ist dann im System des Bildraums E, eine zur Gegenebene
Q, parallele Ebene, so wird die entsprechende Ebene E des
Originalraums zu R parallel sein und die in beiden Ebenen ent
haltenen Systeme werden zu einander affin sein, den Rich
tungen der einen entsprechen Richtungen der andern, ohne dass
jedoch allgemein die Richtungsunterschiede hier den entsprech
enden Richtungsunterschieden dort gleich sein werden. Diess
Letztere ist aber der specielle Character, welchen entsprechende
ebene Systeme von der Stellung der Gegenebenen in centrisch
collinearen Räumen besitzen, weil ihre unendlich ferne Gerade
zugleich ihre Collineationsaxe ist, d, h. Punkt für Punkt sich
selbst entspricht. Damit ist erwiesen, dass collineare räum-
iche Systeme im Allgemeinen nicht in centrische
oder perspectivische Lage übergeführt werden kön
nen (vergl. §22.), dass vielmehr diese Möglichkeit von besondern
Eigenschaften derselben abhängt. Die Darstellungsmethoden
haben es stets nur mit centrisch collinearen Systemen zu thun.
Reciproken räumlichen Systemen (vergl. § 23.) wer
den wir später begegnen. Sie sind im allgemeinen Falle auch durch
fünf Punkte der einen und die fünf entsprechenden Ebenen des
andern Raumes bestimmt, wenn keine vier von jenen in einer
Ebene liegen und also keine vier von diesen durch einen Punkt
gehen. Auch hier erfordert die Construction des entsprechen
den zu einem gegebenen Element die dreimalige Wiederholung
der Elementarconstruction des vierten Elements in projectivi-
schen Gebilden erster Stufe,
1) Wenn zwei collineare räumliche Systeme ein ebenes System
entsprechend gemein haben, so haben sie auch einen Strahlenbündel
entsprechend gemein und umgekehrt. Man erläutere insbesondere den
Zusammenhang dieses Satzes mit dem in § 38.; 2.
2) Die Bestimmung der centrisch collinearen räumlichen Systeme
durch Centrum und Ebene der Collineation sowie eine der Gegen
ebenen ist eine specielle Form der Bestimmung durch fünf Paare ent
sprechender Punkte. Das Centrum und drei Punkte der Collineations-