Projectionen, Durcbstoss- u. ^-Punkte der Geraden. 50. 165
Nehmen wir zwei Punkte A{x i) y v zß) und B{x 2 , y 2 , z 2 )
als durch ihre Projectionen gegeben an, so sind die Projec
tionen ihrer geraden Verbindungslinie AB die geraden Verbin
dungslinien A'B', A"B'', ä"B"’ ihrer gleichnamigen Projectionen.
Die wahre Länge von AB bildet mit der Länge der Projection
A'B', A'B", A"'B"' und der algebraischen Differenz der zuge
hörigen projicierenden Linien z i — z 2 , y x — y 2 , xj—x 2 respec-
tive als Katheten je ein rechtwinkliges Dreieck, in welchem sie
mit der erstem den zugehörigen Winkel ß n ß 2 , ß 3 respective
einschliesst. Man hat also A'B' — AB . cos ß l , etc.
Da die Punktreihe in AB
zu ihrer Parallelprojection v
perspectivisch ähnlich ist,
so ist das Verkürzungsver-
hältniss A'B' : AB = consi,
es ist nämlich = cos ß v etc.
Für ß 1 = 0 entsteht die
Gleichheit der entsprechen
den Reihen, für ß i = 90°
wird die Horizontalprojec-
tion der Geraden ein Punkt.
DieDurchstosspunkte
S lf S 2 , S 3 der Geraden
(Fig. 96) fallen mit ihren
gleichnamigen Projectionen
zusammen und liegen somit
in den gleichnamigen Pro- ^
jectionen der Geraden und in den Perpendikeln, welche man
auf den zugehörigen Axen in ihren Schnittpunkten mit den be
nachbarten Projectionen errichten kann. (Vergl. Fig. 92.)
Die Schnittpunkte der Geraden mit den Halbie
rungsebenen haben je eine ihrer Projectionen in den Hal
bierungslinien der Axenwinkel, nämlich (Fig. 96) die
erste, die dritte und S) y , die zweite und sind da
durch bestimmt.
1) Man construiere die gerade Entfernung von zwei Punkten,
deren erste Projectionen nebst den Coordinaten z t = 5, z 2 — — 3
gegeben sind; dazu die Winkel ßi der Verbindungslinie.
2) Man projiciere eine Gerade aus der Angabe von zweien ihrer
Durchstosspunkte.