Affinitätsaxen der Projectionen des ebenen Systems. 53. 173 
drei Paare entsprechender Punkte bestimmt ist und jedenfalls 
den bezüglichen Axenschnittpunkt der Ebene als sich selbst 
entsprechend und aus demselben Grunde den Punkt von drei 
zusammenfallenden Projectionen enthalten muss. 
Aus = folgt z/ 12 , A 2 :A S — z/ 23 , 
z/ 3 :zf 1 =z/ 31 zur Bestimmung der Characteristiken der Affinitäten, 
in welchen die Projectionen der Ebene zu einander stehen. Es 
ist z/ 19 z/ 9q ^A, = 1. Aus z/ 19 und ¿/.,o bestimmen sich ¿4 
denn J k 2 {l -f + 4jk 2 ) = 1. (§ 47.) Für cq = 90° wird 
z/j = 0 und damit auch z/ 12 — 0, hj' f fällt in die Horizontal- 
projection; allein bestimmt A 2 und z/ 3 . 
Da die Affinitätsaxen des Originalsystems mit seinen Pro 
jectionen die Spuren des ebenen Systems sind (vergl. § 54.), 
so ergiebt sich, dass die vorzugsweise bequemen Be 
stimmungsweisen des ebenen Systems durch Paral- 
lelprojection ohne Ausnahme die Axen dieser Affi 
nitäten als Hauptbestimmungsstücke benutzten. 
1) Man bestimme aus den Affinitätsaxen einer Ebene die Spuren 
derselben mittelst ihrer in denProjectionsaxen gelegenen Projectionen. 
2) Man construiere den Durchschnittspunkt D einer Geraden g 
mit der durch ihre Affinitätsaxen hj", h/"' bestimmten Ebene. 
3) Ebenso die Durchschnittslinie von zwei Ebenen, welche durch 
ihre respectiven Affinitätsaxen bestimmt sind. 
4) Man construiere die Transversale der Geraden g und l aus 
dem Punkte A oder in gegebener Richtung h mit Benutzung der 
Affinitätsaxen der Ebenen A, g und A, l. (Yergl. § 8.; 8.) 
5) Man verzeichne die Durchschnittslinie einer durch ihre Af 
finitätsaxen bestimmten Ebene mit der Ebene eines gegebenen Drei 
ecks ABC. 
6) Zeichne ein Büschel von Ebenen mit gemeinsamer Affinitätsaxe 
hx* ’ • rn 
7) Wenn die Affinitätsaxe einer Ebene TiJ'" normal zur Axe 
OX ist, so sind die erste und zweite Projection ihres ebenen Systems 
nicht nur affin, sondern flächengleich, d. h. ihre entsprechenden 
Plächentheile sind gleich gross — denn die Winkel cq, v 2 1 er Ebene 
sind einander gleich. (Vergl, § 47.; 10, und § 21.; b.) Diess folgt 
auch aus z/ 12 = 1. 
8) Können alle drei Projectionen eines ebenen Systems gleich 
sein und wie liegen solche Ebenen oder wie gross sind ihre «f ? 
9) Wenn die Affinitätsaxe h x 'C einer Ebene unendlich fern ist, 
so ist diese Ebene der Axe OX parallel und gegen die erste und 
zweite Projectionsebene gleich geneigt; die erste und zweite Projec 
tion ihres ebenen Systems sind congruent in perspectivischer Lage.