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Zur zweiten Auflage. 
Dies Beispiel ist zugleich eine Erläuterung über die wahre 
Natur der elementaren Metrik und darum will ich hier 
betonen, dass durch das Ganze meiner Entwickelung eben diese 
Natur der Metrik, die Bedeutung des imaginären Kreises aller 
Kugeln in der unendlich fernen Ebene für die auf die perspec- 
tivische Raumansicht gegründete Geometrie, klar hervortritt, 
als etwas eben dieser Geometrie Eigenthümliches und mit der 
perspectivischen Raumansicht im Wesentlichen Gegebenes. Die 
sonst so wackere Schrift „Ebene geometrische Gebilde erster und 
zweiter Ordnung vom Standpunkte der Geometrie der Lage 
betrachtet von Dr. Joh. Thomae“ (Halle 1873) kann zeigen, 
dass in diesen Fragen selbst hervorragende Mathematiker nicht frei 
von irrigen Auffassungen sind. Wir haben ja das Aehnliche 
an einem unserer analytischen Meister, an Hesse erlebt! (Siehe 
„Sieben Vorlesungen“ p. 43. Leipzig 1874.) 
Aber ich will ferner anmerken, dass in diesem Entwickelungs 
gange die Bedeutung der imaginären Elemente überhaupt, 
die Nothwendigkeit ihrer Mitinbetrachtnahme, sowie sehr frühe 
schon die richtige Art und Weise ihrer Bestimmung und construc- 
tiven Benutzung, zunächst in conjugierten Paaren (§ 32., 11 f.) 
sich ergiebt; nachdem dann ihre Benutzung in besonderen Fällen, 
wie in § 97,, 9 f. und in § 98. zu wichtigen Resultaten ge 
führt hat, die sofort auch durch einfache Schlüsse mit nur 
reellen Elementen Bestätigung finden, — z. B. § 98., 8. — ist 
es naturgemäss, wenigstens die Hauptgrundlagen der Theorie 
der imaginären Elemente nach v. Staudt im dritten Theile zu 
geben, um dadurch diesem ganzen Abschnitt den nothwendigen 
Grad der Allgemeinheit zu wahren. Wenn ich eben nur die 
Hauptgrundlagen gebe und z. B. schon die genaue Untersuchung 
der Frage vom Sinn der Gebilde („Beiträge zur Geometrie 
der Lage“ Nr. 196 f.) nicht aufgenommen habe, so leitet mich 
darin die pädagogische Erfahrung; die Untersuchung des Sinnes 
in imaginären Gebilden ist nicht einfach genug, um sie an 
dieser Stelle in die Hauptentwickelung einzuschieben; dass die 
Resultate, zu denen man durch sie gelangt, den entsprechenden 
Grad der Wichtigkeit vollauf besitzen, wird erst bei einer höheren 
Stufe der Einsicht ganz gewürdigt, und man darf sich in der grund 
legenden Vorlesung daran genügen lassen, die imaginären Elemente 
in Zusammenhang mit der Cartesischen Coordinatengeometrie 
gesetzt zu haben, wie ich es thue — die volle Ausführung des