216 II. Cmven und Flächen: A) Entwickelbare Flächen. 63.
haben soll, so kann sie nur die Vereinigung von Kegelschnitt und
Gerade oder die von drei Geraden sein. Für g = 3 und ö = 2
oder = 3 erhält man v =■ 2 und v = 0 respective, d. h. an diese
Curven gehen von einem Punkt ihrer Ebene nur zwei oder keine
Tangenten. Eine Curve zweiter Ordnung besitzt nur dann einen
Doppelpunkt, wenn sie in ein Linienpaar zerfällt, wie wir sahen.
Es ist v = 0. Und ebenso kann die Vereinigung eines Punktes mit
einer Curve zweiter Classe als Curve dritter Classe mit zwei Doppel
tangenten und ein Punktepaar als Curve zweiter Classe mit einer
Doppeltangente angesehen werden. Gegenüber diesen zusammenge
setzten Curven stellt man die einfachen Curven jeder Ord
nung, für welche die Zahl der singulären Punkte nicht ^-(g—l)(g—2)
übersteigt.
4) Eine Curve der Ordnung g hat im Allgemeinen g unendlich
ferne Punkte und demgemäss g nach diesen hingehende unendliche
Aeste, dazu auch g Asymptoten als die zugehörigen Tangenten; die
selben können in Paaren nicht reell sein.
5) Jeder Berührung der Curve mit der unendlich fernen Ge
raden ihrer Ebene entspricht ein parabolischer Ast derselben.
6) Jede Projection einer ebenen Curve ist eine Curve derselben
Ordnung und Classe und mit denselben Singularitäten, wie sie selbst;
die Projection eines Doppelpunktes ist ein Doppelpunkt der Projec
tion, etc. Für jede Parallelprojection sind auch die Projectionen der
Asymptoten die Asymptoten der Projection. Wie gestaltet sich diess
für eine centrale Projection? (Vergl. § 26.)
63. Fassen wir eine nicht ebene Curve (gewundene,
doppelt gekrümmte Curve, ßaumcurve) zunächst als
den Ort eines bewegten Punktes P auf, so liefern die geraden
Verbindungslinien der aufeinander folgenden unendlich nahe
benachbarten Lagen P,, P 2 , P 3 , ... desselben, d. h. die Ge
raden P i P 2 , P 2 P 3 , P 3 P 4 , . . . die Tangenten der Curve in
p u T 2 , p i> • • ■ (Fig. 135) und die Yerbindungsebenen von je
zwei aufeinander folgenden Tangenten P [ P„, P 2 P 3 ; p 2 p., ?
P i; • • • oder von je drei aut einander folgenden Punkten
p \ P 2 p, i■> P 'i P $ P i} • • • die Schmiegungsebenen oder Oscu
lations ebenen der Curve. Die zwischen den bezüglichen
Nachbartangenten in diesen Ebenen gelegenen Flächenstreifen
unendlich kleiner Winkel (Contingenzwinkel) bilden eine
Fläche, die man die developpable Fläche der Curve
nennt (Tangentenfläche derselben); developpabel oder
entwickelbar, weil sie offenbar durch successive Ueberfüh-
iung jedes dieser Streifen in die Ebene des folgenden und mit
diesem in die des dritten, vierten, etc. ohne Trennung des Zu-
