246 II. Curven und Flächen: A) Entwickelbare Flächen. 70.
A HPK ^ A GPK\ A OPL ?V A HP Ly A HPK c\j A OPZ,
also b) LG PK = LH PK = L.0 PL — LLPH. (§ 35.; 9.)
Auch nebenbei LHGK—LPHL — 90°. (Yergl. Art. 35., 11.)
Und zieht man von M die Parallele zur Axe AB, welche die
Ebenen der Kreise CDH und EFO in S und T respective schneidet,
so wie von P die Parallele PQR zu AB bis zum Schnitt mit den
selben Ebenen in Q und R respective, so hat man
Amshc^Apqh-, Amto^uApro-,
also MS : MH = PQ : PH = PQ : PG\
MT ; MO = PR ; PO = PR : PH,
d. h. c) PQ : P G = PR : PH = const., (§ 35.)
und zwar für die Ellipse > 1, für die Hyperbel < 1 und für die
Parabel == 1. Die Geraden KQ, LR sind die Directrixen des Kegel
schnitts. Yergl. Art. 35.
5) Man erläutere die Modificationen der Entwickelung und der
entsprechenden Eigur für den Eall des hyperbolischen Schnittes.
6) Man entwickele die vorigen Eigenschaften für den Grenzfall
der Parabel und erläutere ihre constructive Benutzung.
7) Man beweise den Satz: Die Scheitel aller der geraden
Kreiskegel, aus welchen ein gegebener Kegelschnitt
geschnitten werden kann, liegen in einem zweiten Keg el-
schnitt, welcher die Brennpunkte des ersten zu Schei
teln und die Scheitel desselben zu Brennpunkten hat
und dessen Ebene zur Ebene des ersten normal ist. Für
jeden Punkt des zweiten Kegelschnitts als Spitze ist die
zugehörige Tangente desselben die Axe des Kreiskegels.
Die Beziehung solcher zwei Kegelschnitte ist eine gegenseitige. Die
Punkte des einen haben sämmtlich die Eigenschaften der Brenn
punkte des andern; man kann jeden als den Pocalkegelschnitt
des andern bezeichnen.
Die Figur 152 giebt eine Hyperbel und ihre Pocal-Ellipse axo-
nometrisch so, dass die Ebene XOZ durch die Ellipse, die Ebene
XOY durch die Hyperbel begrenzt erscheint.
8) Durch eine gegebene Ellipse gehen zwei und nur zwei ge
rade Kreiscylinder in den Asymptotenrichtungen der Focalhyperbel;
durch eine Hyperbel ist kein Kreiscylinder möglich; für die Parabel
degeneriert derselbe in ihre Ebene,
9) Man lege durch einen gegebenen Kegelschnitt einen geraden
Kreiskegel von vorgeschriebenem Winkel an der Spitze und unter
suche die Bedingungen der Lösbarkeit dieser Aufgabe.
10) Man beweise die allgemeinen Sätze: Die Punkte des ebenen
Schnittes von einem geraden Kreiskegel stehen zu den Kreisen, in
welchen zwei demselben eingeschriebene Kugeln die Schnittebene
schneiden, in der Beziehung, dass die algebraische Summe der
