Die Charactere einer Developpabeln und ihres Querschnitts. 83. 299 
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8) Die developpable Fläche der Raumcurve dritter Ordnung 
besitzt keine Doppelcurve (vergl. § 82.; 8.) — weil sonst zwei nicht 
auf einander folgende Tangenten in einer Ebene liegen und diese vier 
Punkte mit der Curve gemein hätte; für diese Developpable ist 
x = 0 und zugleich y — 0; aus analogem Grunde ist auch eine 
stationäre Ebene nicht möglich — also cc — 0. (Vergl. § 63.) 
Ebenso ist ß = 0 nach den Untersuchungen des § 81. Das Bild 
einer solchen Curve hat also weder Doppeltangenten noch Spitzen 
und die Spur ihrer Developpablen weder Doppelpunkte noch In 
flexionen. 
*9) In der That sind die sechs Gleichungen unter *) bei § 82. 
und 83. für 
m = 3, x = 0 , y — 0, a = 0, ß = 0 
(vergl. § 62.; 3.), d. i. 
r = 6 — 2 h } 3 = r (r — 1) ■—3 n, n = 3 r — 9, 
n — r{r — 1) — 9, r — n{n — 1) — 2 g, 3 = 3 (r — n) 
mit einander verträglich und liefern die einzige Gruppe von Werthen 
4, n = 3, g = 1, ä — 1; p 
0. 
Das Bild der Eaumcurve dritter Ordnung ist eine Curve dritter 
Ordnung und vierter Classe mit einem Doppelpunkt und drei In 
flexionen ohne andere Singularitäten. Hat jener reelle Tangenten, 
so sind zwei der Inflexionen nicht reell. Wenn sie reell sind, so 
liegen die drei Inflexionspunkte in einer Geraden. (Vergl. § 84.; 
9.) Die Spur ihrer developpabeln Fläche ist eine Curve vierter 
Ordnung und dritter Classe mit einer Doppeltangente und drei Rück 
kehrpunkten — von welchen Letzteren zwei nicht reell sein können, 
indess zugleich die Doppeltangente zu einer isolierten oder conju- 
gierten Geraden wird. Diese Ergebnisse sind für den Zeichner von 
Wichtigkeit. (Vergl. Figur 168.) 
*10) Für die Raumcurven dritter Ordnung und ihre Develop 
pabeln sind die reciproken Charactere einander gleich 
9 = h, cc = 
y; 
ganz so wie für die ebenen Kegelschnitte. 
*11) Für m = 4 gestatten die sechs Gleichungen verschiedene 
Lösungen, nämlich für h — 2 und h = 3, jenachdem kein Doppel 
punkt in der Curve auftritt oder ein solcher vorhanden ist, wie im 
Falle der Berührung der Kegel. (§ 81.) Man erhält für h — 3, m — 4 
einzig die Gruppe 
a) « = 6; ?’=6; ct = 4, /3 = 0; g=6; x — 6, y = 4; p~0 
dagegen für h— 2, m = 4 die beiden Gruppen 
b) n= 12; r = 8; a=16, ß = 0; g= 38; a:=16,.y=8; p = 1; 
c) n= 4; r=5; «= 1, /3=1; g= 2; x= 2, y = 2,p = 0.