312 II. Curven und Flächen: A) Entwickelbare Flächen. 86.
dringungscurve, des letzten Restes ihrer doppelt
umschriebenen Developpabeln. In der Hyperbel S/*
ist die Horizontalspur desselben verzeichnet.
Betrachten wir ferner die Tangentialebenen der Kegel
flächen M, M* in den nach 1,2,3, 4, 1*, ... gehenden Er
zeugenden, so sind dieselben nach der orthogonalen Symmetrie
der Kegel in Bezug zur gemeinsamen Hauptebene selbst in
Paaren symmetrisch zu dieser, nämlich diejenigen in Ml, M1*;
M*3, M*3*; etc. und dieselben Paare schneiden sich daher
in Geraden auf der besagten Hauptebene; da nun die Tan
gente in P y als Schnittlinie der Tangentialebenen nach Ml,
M* 3 und die Tangente in Py* als Schnittlinie der Tangen
tialebenen nach Ml*, M*3* erhalten wird, so folgt, dass beide
sich in einem Punkte der gemeinsamen Hauptebene durch-
schneiden. Das Gleiche ergiebt sich sofort für die Tangenten
paare der Durchdringungscurve in P 2 , P 2 *; P 3 , P 3 *; P 4 , P*.
Es folgt ebenso für alle die Gruppen von Tangenten in sol
chen acht Punkten der Durchdringungscurve, wie sie durch
je ein Paar symmetrische Hilfsebenen gefunden werden. So
mit liegt in dieser Hauptebene eine Doppelcurve
der developpabeln Fläche der Durchdringungscurve.
Es ist evident, dass dieselbe in C, D, E, F der Durchdringungs
curve selbst begegnet. Wir bemerken auch, dass die Ebene
dieser Doppelcurve die Spitzen der drei doppelt
projicierenden Kegel M, M*, ¥* enthält und dass sie
M* zum Knotenpunkt hat.
Damit ist nun deutlich der Weg zur Erkenntniss der Lage
der übrigen Doppelcurven und der Symmetrieverhältnisse für
den allgemeinen Fall gewiesen. Die orthogonale Symmetrie
der Kegelflächen aus M, M*, Y* und ihrer gemeinsamen Durch
dringungscurve in Bezug auf die gemeinsame Hauptebene ist
nichts anderes als die specielle Form einer involutorischen
Collineation derselben, nämlich mit der Collineationsebene
MM* Y* und für den unendlich fernen Punkt Y der Axe 0 Y
als Centrum. (Vergl. § 42.)
Solcher involutorischer Centralcollineationen sind aber noch
drei vorhanden, nur dass ihre Centra endlich entfernt und sie
daher von allgemeinerer Form sind.
i ür M als Centrum sind die Kegel zweiten Grades aus
