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314 II. Curven und Flächen: A) Entwickelbare Flächen. 86.
Die Figur der Tafel III. giebt die Doppelcurven, welche
den Spitzen M, M*, 7*, 7 entsprechen, als B M , ¥>m*, Dr» (in
der Horizontalprojection), Dy (in der Verticalprojection); die
Tangente in P 1 wird von den Tangenten in P 2 , P 3 , P A *, P x *
respective in den zu jenen Curven gehörigen Punkten 12, 13,
14*, 11* getroffen, die Tangente in Pf von denen in P 2 *, i> 3 *,
P A , P i in Punkten derselben Curven. Die horizontalen Durch-
stosspunkte dieser fünf Tangenten sind durch S x bezeichnet
und auf den entsprechenden Zweigen der Horizontalspur Dj
der developpabeln Fläche zu finden.
In G, H, I, K wird die Curve von der Doppelcurve D jU *
getroffen; ihnen entsprechen die vier Punkte, avo die Spur Sj^*
von der Horizontalspur der developpabeln Fläche berührt wird
— und diese Inflexionen hat, nach den Spuren der stationären
Ebenen der Developpabeln. Den Punkten C, D, E, F ent
sprechen unendlich ferne Inflexionen der Spur. (Vergl. 6. und
§ 65., 7.) In und a 2 sind endlich die Asymptoten der Curve
verzeichnet und ihre horizontalen Durchstosspunkte sind als
Punkte S x angegeben. Die Horizontalprojection der Curve zeigt
vier reelle Inflexionen, den zur Axe z parallelen Schmiegungs
ebenen entsprechend. Die zugehörigen Tangenten sind daher
zugleich Tangenten der Spurcurve D 1? sowie jedes andern ebenen
Querschnittes und Doppeltangenten des Bildes der Doppelcurve.
(Vergl. § 75., 7.)
Die allgemeine Benutzung der entwickelten Eigenschaften
ist durch das Vorige gesichert, denn es gilt der Satz: Sind
M x und M 2 die Spitzen von zwei Kegelflächen zwei
ten Grades K x und K 2 , so findet man die Scheitel
4/ 3 , M A der beiden andern doppelt projicierenden
Kegel Jt 3 , K 4 ihrer Durchdringungscurve in der Ge
raden, in welcher sich die Polarebenen von M y M 2 im
Kegel M 2 und von M 2 M X im Kegel M x durchschneiden;
und zwar als diejenigen Punkte derselben, die das
gemeinsame Paar der beiden Involutionen harmo
nischer Pole bilden, die in ihr durch die beiden
Kegel K x undf 2 respective bestimmt werden. Dann
sind die Ebenen M l M 2 M 3 , M 2 M 3 M 4 , M 3 M A M { , M 4 M X M 2 die
Ebenen, in welchen die Doppeleurven derdevelop*
pabeln Fläche der Durchdringungscurve liegen und
