Die constructive Benutzung der involutorischen Symmetrien. 86. 317 
seimige schneidet und zu 0 Y parallel ist. Die Tafel IY. giebt sie 
und die daran sich knüpfenden Beziehungen zu den Punkten und 
Tangenten der Durchdringungscurve. Die Schnittlinie der Polar 
ebenen von und M 2 in den Kegeln il/ 2 S 2 2 und S, 1 respective 
ist tn i2 , die in ihr liegenden Involutionen, 67,, B 1 - C 2 , H 2 (es sind 
ihre Doppelpunkte) haben zu gemeinsamen Elementen den Mittel 
punkt M 3 und den unendlich fernen Punkt M 4 . Yon den vier doppelt 
berührenden Kegeln der Curve ist nur der zu M x gehörige hyper 
bolische nicht gezeichnet, da seine Spur in der dritten Projections- 
ebene liegt. Für M 3 ist die Ellipse S 2 3 die zweite Spur; für M, r 
der Vollkreis S 2 2 , für M x die zwischen den Umrissen des Kegels M 2 
liegenden Bögen AB, CD des Kreises S, 1 ; die Hyperbel S 3 4 würde 
auch nur zwischen den Umrissen des Cylinders M x als Projection 
reeller Curventheile erscheinen. 
Die Construction der Punkte und Tangenten ist für die sym 
metrischen Hilfsebenen s 1? s,* durchgeführt und bezeichnet; wenn 
die Tangente t x in P x als Schnitt bezüglicher zwei Tangentialebenen 
bestimmt ist, so ergeben sich mittelst der Horizontalprojectionen 
von t { *, t 2 , t 3 , t 4 und durch die Punkte der Doppelcurven 11% 
12, 13, 14 die Tangenten in P { *, P 2 , P 3 , P 4 in der Yerticalpro- 
jection; die i 2 , u” sind parallel. Die Tangenten in den übrigen 
drei Punkten der Gruppe von acht Punkten, welche s 4 , s 2 * liefern, 
sind damit offenbar mit bestimmt; sie sind in Paaren parallel. Man 
characterisiere die acht reellen stationären Ebenen in diesem Falle 
eingehender. In den Punkten A, B, C, D sind die zugehörigen 
Tangenten der Axe z parallel; daher Spitzen mit zusammenfallenden 
Aesten in der ersten Projection als Enden des reellen Theiles. In 
den vier anderen Punkten sind die stationären Schmiegungsebenen 
horizontal. 
12) Man construiere dasselbe für die Durchdringung von zwei 
geraden Kreiscylindern mit sich rechtwinklig kreuzenden Axen — 
respective parallel OX, OZ. Ebenso in andern speciellen Fällen. 
13) Man mache die Bestimmung der Scheitel der fehlenden 
Kegel in dem Falle, dass unter den Hilfsebenen des Büschels M 4 M 2 
solche sind, die den einen Kegel (il/ 2 ) berühren. Man zeichnet die 
Schnittlinie der Polarebenen von M 4 und M 2 für M 2 S 2 , d/jSj resp., 
und bestimmt die Durchstosspunkte der Geraden M 4 M 3 , M 4 M 4 mit 
Hilfe jener äussersten also zusammengehörigen Hilfsebenen. 
14) Man construiere die fehlenden Scheitel der doppelt pro- 
jicierenden Kegel und die Ebenen der Doppelcurven der Develop- 
pabeln für die Durchdringungscurven von zwei Kegeln zweiten Grades 
in Centralprojection unter der Voraussetzung von zwei reellen un 
endlichen Aesten derselben. 
15) In welchem Falle gehen alle vier Involutionen der Curve 
vierter Ordnung in Symmetrien über, nämlich in eine centrale und 
drei axiale oder vielmehr planare? Welches ist der speciellste aller 
Fälle, wo die letzteren Symmetrien orthogonal werden?