318 II. Curven und Flächen: A) Entwickelbare Flächen. 86. 
16) Man zeichne die Curve vierter Ordnung mit Doppelpunkt 
im Falle einer zur Ebene xz parallelen gemeinsamen Hauptebene 
beider Kegel. Der Doppelpunkt kann isoliert sein und die Curve 
kann reelle unendliche Aeste haben oder nicht. Für die mit Spitze 
giebt es eine solche symmetrische Anordnung nicht, ohne dass die 
Curve in zwei sich deckende Gerade und einen Kegelschnitt zerfällt. 
17) Man discutiere die Verhältnisse der Construction der Spitzen 
doppelt projicierender Kegel und damit der Ebenen doppelt einge 
schriebener Curven bei der Eaumcurve vierter Ordnung mit Doppel- 
respective Eückkehrpunkt (§ 85.) und bei der dritter Ordnung mit 
ihrer Secante; endlich bei der in zwei Kegelschnitte zerfallenden 
Durchdringung vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten. Im ersten 
Falle der Curve mit Doppelpunkt erhält man zwei Punkte mit sta 
tionären Ebenen, welche den zweiten eigentlichen doppeltprojicieren- 
den Kegel berühren, während ihre Tangenten Erzeugende desselben 
sind. Zwei Scheitel der Kegel sind im Doppelpunkt und zwei Ebenen 
des Quadrupels in seiner Tangentialebene vereinigt. Im letztem 
Falle sind die Ebenen der Kegelschnitte vom System der Doppel- 
curven der Developpabeln erfüllt und ihre Schnittlinie besteht aus 
vierfachen Punkten derselben. 
18) Der projiGierende Kegel der Curve vierter Ordnung ans 
dem Doppelpunkt wird von der Tangentialebene im Doppelpunkt 
in den beiden Tangenten desselben geschnitten. 
19) Man beweise den Satz: Die vier Ebenen, welche eine Tan 
gente der Curve vierter Ordnung aus zwei Kegelflächen zweiten 
Grades mit den Mittelpunkten der vier Kegelflächen zweiter Ord 
nung bestimmt, welche durch sie gehen, bilden ein Büschel von 
constantem Doppelverhältniss; d. h. nach den Bezeichnungen der 
Tafel III. 
{t i . YMM* 7*) = const. oder (t l . t 2 t 3 t 4 *) — const., 
d. h. die vier Ebenen, welche eine Tangente mit den vier andern 
Tangenten der Curve bestimmt, die sie schneidet, bilden eine Gruppe 
von constantem Doppelverhältniss. (Yergl. Theil III.) 
20) Bemerkt man, dass die Spuren dieser Ebenenbüschel 
Strahlenbüschel von constantem. Doppelverhältniss bilden, so ergiebt 
sich speciell für die acht Tangenten einer Gruppe 
h> *2’ hi hi h■ h* 
aus 
ih'h*hhh*) = ih* - hh*h*h), 
dass die Durchstosspunkte derselben in einer beliebigen Ebene also 
z. B. ihre S i acht Punkte eines und desselben Kegelschnitts sind. 
Man findet auch, dass die Projectionen der acht Tangenten in 
einer beliebigen Ebene Tangenten eines Kegelschnitts sind. (Yergl. 
§ 101.)