338 II. Curven und Flächen: B) Flächen zweiten Grades. 93.
endlich folgen die Spuren s/, s x 2 , s 2 2 der beiden Ebenen
/jA, l 2 h.
Die horizontalen Durchstosspunkte von g x , g 2 , g 3 , l 2
bestimmen die Horizontalspur des Hyperboloids der p; die
ersten und zweiten Projectionen derselben fünf Geraden sind
Tangenten der respectiven gleichnamigen Umrisse desselben.
Yon diesen Elementen sind die Umrisse angegeben und durch
Verstärkung der Linien berücksichtigt. Zu ihrer Vervoll
ständigung würden die in der Fig. der Tafel VII. leicht mit
Hilfe ihrer Durchstosspunkte zu ergänzenden Erzeugenden des
Hyperboloids der g durch die Punkte A n , A 12 , A xz dienen.
(Vergl. Tafel V., § 90.)
Wenn die Gerade A einer Projectionsaxe parallel ist, so
enthält das allgemeine Problem die Bestimmung eines
Punktes der Fläche aus einer gegebenen Projection
desselben; die projectivischen Ebenenbüschel der zweiten
Lösung durch A werden zu projicierenden Ebenen, deren
Spuren die Verbindungslinien der gleichnamigen Projection
von A mit denselben Projectionen der Punkte der projectivi
schen Reihen in g 2 und g ä sind. Die Construction kommt
somit völlig zurück auf die Form derjenigen für die Bestim
mung der Tangenten des Umrisskegelschnitts der Fläche aus
der gleichnamigen Projection des Punktes. (Vergl. Fig. 178.)
Auch die Construction der Durchdringungen der
Regelflächen zweiter Ordnung mit developpabeln
Flächen und mit andern Regelflächen zweiter Ord
nung kommt hierauf zurück, weil ihre Punkte sich als die
Schnittpunkte der Erzeugenden der einen Fläche mit der an
dern Fläche und die bezüglichen Tangenten sich als die Schnitt
linien der entsprechenden Tangentialebenen beider Flächen
ergeben. (Vergl. jedoch das Spätere hierüber.)
1) Die Geraden l x , l 2 sind nach der Construction die ferneren
Durchschnittslinien der beiden Hyperboloide, welche durch die Ge
raden 0|, g 2 , A, respective g x , g :) , A als Erzeugende derselben
Schaaren bestimmt werden. Diese Hyperboloide schneiden einander
in dem windschiefen Viereck g x l x hl 2 , d. h. sie haben seine Seiten
gemein und die Ebenen der anliegenden Seiten zu gemeinsamen
Tangentialebenen in seinen Ecken. Wie verhält sich dazu das Hy
perboloid g 2 g ä h und das g 1 g 2 g^ In welchen Punkten schneiden l v l 2
diese verschiedenen Hyperboloide?