380 II. Curven und Flächen: B) Flächen zweiten Grades. 100,
durch diese Durchdringungscurve legen. (Vergl.
§ 86.)
Die Bequemlichkeit und insbesondere die Genauigkeit ihrer
Construction hängen von der Kenntniss des gemeinsamen Qua
drupels beider Flächen ab. Zu seiner Bestimmung führt z. B.
die folgende Betrachtung, die natürliche Verallgemeinerung
der Construction des Art. 97, (Vergl. 20 das.)
Man habe drei Strahlen eines Bündels , g 2 , g 3 , die nicht
in einer Ebene liegen und betrachte sie als Punktreihen oder
als Ebenenbüschel. Jedem Punkte entspricht ein Paar von
Polarebenen in beiden Flächen und somit eine Gerade als ge
meinschaftlich conjugiert; den Punkten einer Reihe entsprechen
die Schnittlinien der entsprechenden Ebenen zweier projecti-
vischen Büschel der Polarebenen, deren Scheitelkanten die
conjugierten Geraden gi*, gf' die Reihe in beiden Flächen sind,
also die Erzeugenden l eines einfachen Hyperboloids; so ent
sprechen den drei Reihen g t , g 2 , g 3 die Regelschaaren l der
einfachen Hyperboloide Gj, G 2 , G 3 , und weil die gi einen
Punkt gemein haben, so enthalten alle diese Hyperboloide die
doppelt conjugierte Gerade dieses Punktes und schneiden sich
somit in drei Raumcurven dritter Ordnung.
Ist M ein gemeinschaftlicher Punkt derselben, so gehen
durch M drei Gerade der Regelschaaren l und durch diese wird
ihm in gr,, g 2 , g s je ein von ihrem Schnittpunkt verschiedener
Punkt als gemeinsam conjugiert zugeordnet, sodass ihm in
beiden Flächen dieselbe Polarebene (die Ebene dieser drei
Punkte) entspricht. Nach dem Vorigen kann ihre Zahl nur
vier sein, und sie bilden das gesuchte Quadrupel. (Vergl. auch
Theil III.) Die dualistische Construction liefert die Flächen
desselben.
1) Man zeichne in Tafel XI. die Spuren der doppelt projicie-
renden Kegel der Durchdringungscurve aus in den
Ebenen yz, zoc, xy respective ein.
2) Man construiere die Durchdringung eines Cylinders vom
zweiten Grade mit einer durch den zu ihm parallelen Durchmesser
und den zu diesem conjugierten Diametralschnitt bestimmten Fläche
zweiten Grades, wenn der Querschnitt des Cylinders mit der letzten
Diametralebene gegeben ist. (Für die Construction des Quadrupels
siehe 17) unten.) Insbesondere für das elliptische Paraboloid und
einen coaxialen Rotationscylinder — wo die eine Projection der Curve
in Lemniscatenform erscheint.
