381 
Das Flächenbüschel zweiter Ordnung. 100. 
3) Nach den Entwickelungen des Textes und mit Bezug 
auf §§ 83 f. hat die Durchdringungscurye yon zwei Flächen zweiter 
Ordnung im Allgemeinen die Charactere = 4, y — 8, r = 8 
(§ 83.; 11.) und muss also nach den Anmerk, der §§ 83. u. 84. 
auch deshalb identisch sein mit der dort studierten Durchdringungs- 
curve von zwei Kegelflächen zweiten Grades, 
4) Die Durchdringungscurye von zwei Flächen zwei 
ter Ordnung bestimmt mit jedem Punkte P des Raumes 
eine Fläche zweiter Ordnung, welche sie ganz enthält, 
— denn alle die Kegelschnitte der besagten Fläche mit den Ebenen 
des Bündels aus P sind linear bestimmt, nämlich durch P und die 
vier Punkte der Durchdringungscurye in der betrachteten Ebene. 
Durch eine solche Curve gehen also unendlich viele Flächen zweiter 
Ordnung, deren Gesammtheit als ein Flächenbüschel zweiter Ord 
nung bezeichnet wird. 
5) Wenn beide Flächen sich in einem Punkte berühren, oder 
wenn die eine ein Kegel ist, dessen Spitze auf der andern liegt, so 
ist dieser ein Doppelpunkt der Durchdringungscurye und ein Punkt 
der Doppelcurve ihrer Developpabeln. Die Charactere der Durch 
dringung sind die in § 83., *11. unter a) gegebenen. Unter den 
Flächen zweiter Ordnung, welche die Punkte des Raumes mit dieser 
Curve bestimmen, sind drei Kegel zweiten Grades. (Vergl. §§ 81., 85.) 
Die gemeinsame Berührungsebene aller dieser Flächen im Doppelpunkt 
schneidet dieselben in Paaren erzeugender Geraden, welche eine In 
volution bilden, deren Doppelstrahlen die Tangenten der Curve im 
Doppelpunkt sind. 
6) Eine Fläche zweiten Grades und ein Kegel zweiten Grades, 
dessen Spitze in jener liegt und der von der entsprechenden Tan 
gentialebene der Fläche zugleich berührt wird, schneiden einander 
in einer Raumcurve vierter Ordnung, die einen Rückkehrpunkt in 
jenem Punkte hat. Ihre Charactere sind die unter c) am vorher 
angeführten Orte gegebenen. (Yergl. § 85.) 
7) Die Raumcurve vierter Ordnung mit Rückkehrpunkt bestimmt 
mit jedem Punkte des Raumes eine Fläche zweiten Grades. Die 
ihnen allen gemeinsame Berührungsebene im Rückkehrpunkt M v 
(vergl. Fig. 174) schneidet diese Flächen in Paaren von geraden 
Erzeugenden, die mit den Berührungserzeugenden der Kegel M*MS t 
und flUSj* harmonische Gruppen bilden — oder diese sind die 
Doppelstrahlen der Involution von jenen. Die stationäre Ebene 
schneidet sie in einem Büschel von Kegelschnitten, die sich im ent 
sprechenden Punkte vierpunktig osculieren. 
8) Eine Raumcurve dritter Ordnung und eine sie zweimal 
schneidende Gerade bestimmen mit jedem Punkte des Raumes eine 
Fläche zweiter Ordnung, welche beide ganz enthält. Zwei Flächen 
dieses Büschels sind Kegelflächen, alle übrigen Regelflächen zweiten 
Grades. (Yergl. § 81.) Wie modificiert sich diess für den Fall, dass 
die Gerade die Raumcurve berührt?