Verbindung mit andern krummen Flächen. 113. 
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Lichtstrahl in die Normale der Fläche fällt. Man bestimmt mit 
Hülfe des Richtungskegels die zur Normalebene des Lichtstrahls 
parallelen Erzeugenden und erhält auf ihnen die fraglichen Punkte 
als Berührungspunkte der Fläche mit den durch sie gehenden zum 
Lichtstrahl normalen Ebenen. 
113. Die Verbindung einer windschiefen Regel- 
fläche mit jeder der bisher behandelten Flächen 
arten, also mit einer developpabeln Fläche, mit einer krummen 
Fläche zweiten Grades oder mit einer andern windschiefen 
Regelfläche, giebt Anlass zu einer grossen Reihe von Problemen, 
von denen nur einige hervorgehoben werden sollen. 
Eine Kegel- oder Cy linderfläche hat mit der Regel 
fläche eine Curve gemein, und unter ihren Erzeugenden sind im 
Allgemeinen Tangenten der Regelfläche, sowie unter ihren 
Tangentialebenen Tangentialebenen derselben. Legt man durch 
die Spitze des Kegels oder parallel den Erzeugenden des 
Cylinders eine Ebene nach einer Erzeugenden e der Regel 
fläche, so enthält diese eine Gruppe e x , e 2 ... von Erzeugen 
den des Kegels oder Cylinders und einen aus der Erzeugen 
den e und einer Curve (n — l) ter Ordnung C n -1 zusammenge 
setzten Schnitt der Regelfläche; die Punkte, welche die Gruppe 
der ei mit der Verbindung der e und C n —i gemein hat, gehören 
zur Durchdringungscurve; die zugehörigen Tangenten der 
selben sind die Schnittlinien der bezüglichen Tangentialebenen 
des Kegels und der windschiefen Regelfläche. Man erkennt, 
dass die Ordnungszahl der Durchdringungscurve das Product 
der Gradzahlen des Kegels und der Regelfläche ist. 
Für die constructive Durchführung erscheint es zumeist 
bequemer, immer nur die Schnittpunkte der Erzeugenden e 
mit den Linien der Gruppe der e t - zu beachten, da man auch 
so alle Punkte der Durchdringung bekommt, wenn man alle 
Erzeugenden nach einander benutzt. 
Construiert man für dieselben Ebenen je den Berührungs 
punkt P mit der Regelfläche, so erhält man gleichzeitig den 
aus der Spitze des gegebenen Kegels der Fläche umschrie 
benen Berührungskegel und seine Berührungscurve mit der 
Fläche; dieselbe enthält die Doppelpunkte der vorher erörter 
ten Durchdringungscurve. Die gemeinsamen Erzeugenden 
beider Kegel sind die Tangenten der Fläche unter den Er-