Kegelflächc dritten Grades: Doppelgerade. 114. 439 
construiert, ist cine Curve dritter Ordnung mit einem Dop 
pelpunkt Qi im Fluchtpunkt der Doppellinie der nach dem 
Vorigen ein Doppelpunkt mit reellen Aesten (Fig. 205) oder 
ein isolierter Punkt (Fig. 206) sein wird, jenachdem er in 
dem einen oder andern der durch die besondern Punkte 4 () , 
A n begrenzten Segmente der Doppelgeraden liegt — wie es 
die Figuren veranschaulichen. Das Nämliche gilt von allen 
ebenen Schnitten der Fläche. Wenn reelle Grenzpunkte existie 
ren, so entsprechen den durch sie gehenden Schnittebenen 
Curven dritter Ordnung mit Rückkehrpunkt, die Schnittlinie 
mit der Tangentialebene im Grenzpunkt ist die Rückkehr 
tangente. 
Jede durch eine Erzeugende e gelegte Ebene berührt die 
Fläche und schneidet sie ausser in der Erzeugenden in einem 
Kegelschnitt (vergl. § 109,5 6., Fig. 204), welcher mit der 
Erzeugenden den Berührungspunkt mit der Fläche und den 
Punkt der Ebene in der Doppelgeraden g 3 gemein hat; d, h. 
alle Kegelschnitte auf der Regelfläche dritten Grades schnei 
den die Doppelgerade derselben. 
Die Fluchtlinie der betrachteten Schnittebene ist eine 
Secante der Fluchtcurve der Fläche aus dem Fluchtpunkt 
der betrachteten Erzeugenden und schneidet dieselbe daher 
noch überdiess in zwei reellen oder nicht reellen Punkten, 
den unendlich fernen Punkten des bezüglichen Kegelschnitts, 
der also im Falle der Realität eine Hyperbel, andernfalls eine 
Ellipse ist; derselbe wird zur Parabel, wenn sie zusammen 
fallen und diess wird für jede Erzeugende in zwei Lagen 
geschehen, weil die Curve dritter Ordnung mit einem Doppel 
punkt die Classe vier hat (§ 62.; 3.) und folglich von jedem 
ihrer Punkte noch zwei weitere Tangenten an sie gehen. Die 
Schnittcurve kann zum Kreise werden für drei bestimmte 
Lagen des Fluchtpunkts der Erzeugenden e und ebenso be 
stimmte Stellungen der durch sie gehenden Schnittebene. 
Die Fläche giebt zu zahlreichen weitern constructiven 
Erörterungen den Anlass, die wir durch die vorhergehenden 
Untersuchungen über die windschiefen Regelflächen im All 
gemeinen nahe genug gelegt haben. 
1) Aus einem Punkte der Fläche geht an sie ein Bertihrungs- 
kegel zweiten Grades, welcher ihre Doppelgerade berührt.