Die graphische Methode: Uebersicht der Probleme. 119. 451 
5) Die durch Rotation eines Kreises um eine in seiner Ebene 
gelegene Axe erzeugte Rotationsfläche -— der Torus — ist zugleich 
die Enveloppe einer Kugelfläche von unveränderlichem Radius, deren 
Mittelpunkt einen Kreis beschreibt; derselbe werde näher bezeichnet. 
6) Die Normalen einer Rotationsfläche in den Punkten desselben 
Parallelkreises bilden einen Rotationskegel um ihre Axe; die aus 
der Spitze desselben mit seiner Kantenlänge als Radius beschriebene 
Kugel berührt die Fläche nach dem Parallelkreis und dieselbe kann 
somit als die Enveloppe einer Kugel von stetig veränderlichem Radius 
betrachtet werden, deren Mittelpunkt die Axe durchläuft, 
7) Die Linien der parabolischen Punkte der Rotationsflächen 
sind Parallelkreise. 
8) Die Paare der Haupttangenten einer Rotationsfläche in den 
Punkten desselben Parallelkreises bilden ein einfaches Rotationshyper 
boloid, welches der Fläche nach diesem Parallel umschrieben ist. 
9) Die Ebene des Parallelkreises ist zu den Tangentialebenen 
der Fläche und somit zu dieser selbst in allen Punkten desselben 
gleichgeneigt; ebenso die Ebene des Meridians und zwar diese speciell 
normal. 
Allgemein: Wenn eine Ebene eine krumme Fläche überall unter 
gleichem Winkel schneidet, so ist ihre Schnittcurve mit dieser eine 
Krümmungslinie derselben. Denn die Fläche der Normalen ist de- 
veloppabel, weil sie eine Fläche gleichen Falles gegen jene Ebene 
durch eine gegebene Curve ist. (Yergl. § 101.; 13.) 
10) Die Meridiane der Rotationsflächen sind zugleich geodätische 
Linien derselben. Wenn eine Krümmungslinie einer Fläche zugleich 
eine geodätische Linie derselben ist, so muss sie eine ebene Curve sein, 
119. Es ist für die darstellend geometrische Behandlung 
der Rotationsflächen wesentlich, dass ihre allgemeinen 
constmotiven Eigenschaften aus der einfachen Natur 
der erzeugenden Bewegung, der Rotation um eine 
gerade Axe, hervor gehen, — während die aus der Natur 
der erzeugenden Curve entspringenden Eigenschaften nur dann 
zur Verwendung gelangen, wenn dieselbe nach ihrem geome 
trischen Gesetz bekannt ist, also z. B. im Falle der Rotations 
flächen zweiten Grades. 
Wir sehen hier von den Letzteren ab und nehmen an, 
die Fläche sei durch die zu OZ parallele Axe a und durch 
den zur zweiten Projectionsebene parallelen Meridian ge 
geben, welcher gezeichnet vorliegt. 
In Folge dessen unterlassen wir die Erörterungen über 
Ordnung und Klasse der Fläche, ihre algebraische oder trans 
cendente Natur, etc. Der Entwickelungsgang von solchen 
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