462 II. Curven und Flächen: D) Die Rotationsflächen. 122. 
11) Man mache die Anwendung des Vorigen auf den Berüh 
rungs-Kegel oder Cylinder der Fläche des Torus in 7., b), 
12) Der Berührungscylinder von gegebener Richtung für eine 
Rotationsfläche zweiten Grades steht zu den gleichgerichteten Be- 
rührungscylindern aller der Rotationsflächen von derselben Axe, deren 
Meridiane durch Parallelverschiebung des Meridians der Fläche zweiter 
Ordnung in seiner Ebene erhalten werden können, in einer sehr 
einfachen für die Construction der Berührungscurve der Letzteren 
benutzbaren Beziehung. Da die Berührungscurve der Rotationsfläche 
zweiten Grades und mit ihr der Berührungscylinder bei einer Pa 
rallelverschiebung derselben und unveränderter Richtung des Cylin- 
ders auch nur durch Parallelverschiebung geändert wird, so sind der 
Meridian-Berührungscylinder längs eines Halbmeridians für die Fläche 
zweiten Grades und die Transformierte congruent und die Punkte 
der Berührungscurve für die letztere liegen also auf denselben Paral 
lelkreisen und in den nämlichen Radien derselben wie die der Be 
rührungscurve für die erstere und um die Verschiebungsgrösse von 
ihnen entfernt. Die Berührungscurven solcher Rotatiousflächen mit 
umschriebenen Cylindern entstehen also aus Curven zweiten Grades, 
indem man die zur Axe der Rotationsfläche normalen Radien der 
selben um die nämliche Grösse, nämlich den Abstand des Mittel 
punkts des Meridiankegelschnitts von der Axe, vergrössert. Fig. 213. 
Diese Methode bleibt anwendbar, wenn die erste Fläche nicht 
vom zweiten Grade ist. 
Man wende diess auf die Fläche des Torus an und erläutere 
insbesondere die Benutzung der Methode für die Construction der 
Spur des Berührungscylinders in einer Ebene. 
122. Einen für die Darstellung wichtigen Specialfall bildet 
die Bestimmung der projieieren den Berührungscy 
linder und Kegel der Rotationsflächen bei allge 
meiner Lage ihrer Axen; denn die Spuren derselben in 
den respectiven Bildebenen sind die Umrisse ihrer Bilder. 
In dem speciellen Fall orthogonaler Parallelproj ection 
mit einer zur Rotationsaxe parallelen Axe OZ erhält man die 
Spuren gewisser Parallelkreis- und Meridian-Berührungscylinder 
direct als Umrisse; im allgemeinen Fall schräger Lage der 
Axe a in Parallelproj ection und für Centralproj ection dienen 
die Parallelkreisberührungskegel und Meridianberührungscylin- 
der der Fläche zur Ermittelung ihrer Umrisse nach § 121., 
indem im Allgemeinen jeder der erstem zwei Punkte und jeder 
der letzteren eine von der Gestalt des Meridians abhängige 
Zahl von Punkten für jeden Umriss liefert. Die projicierende 
Linie, welche durch die Spitze des Kegels respective Cylinders