484 II. Curven und Flächen: D) Die Rotationsflächen. 127. 
Kegel eine Ellipse gemein hat; ihre Schnittpunkte geben den Dop 
pelpunkt D" der Yerticalprojection und die entsprechenden Tan 
genten. 
5) Wäre der Kegel nicht vom zweiten Grade, so würde der 
Ort der Mittelpunkte der zu OY parallelen Sehnen eine Kegelfiäche 
von derselben Spitze sein; derselbe giebt auch dann noch das Kri 
terium für die etwaigen Doppelpunkte der zweiten Projection. 
6) Was folgt daraus für die Durchdringungen der Kugel mit 
Kegelflächen, deren Spitzen im Meridian liegen? 
7) Man übertrage die vorigen Erörterungen auf den Pall der 
Centralprojection. 
8) Der ebene Schnitt einer krummen Fläche begegnet den Be- 
rührungscurven aller zu seiner Ebene parallelen berührenden Cjlin- 
der und aller von ihren Punkten ausgehenden berührenden Kegel 
so, dass ihre Tangenten im Schnittpunkt zu den entsprechenden 
Haupttangenten der Fläche harmonisch sind. 
9) Man verzeichne den Schlagschatten des Torus auf sich selbst 
für parallele Lichtstrahlen. 
10) Ebenso die Schlagschatten einer Rotationsfläche in Ge- 
fässform, 
11) Welche Eigenschaft entspringt aus dem Hauptsatze des 
Textes für die Punkte, in welchen die Selbstschattengrenze des ein 
fachen Hyperboloids und der Schlagschatten seines obern Parallel 
kreises in das Innere (Tafel XII.) sich schneiden? 
128. Aus den Betrachtungen des vorigen § überträgt sich 
das Wesentlichste auf die Beziehungen der krummen Flächen, 
insbesondere der Rotationsflächen, zu developpabeln Flächen 
mit Rückkehrkante. Diese Beziehungen liefern vier Aufgaben, 
die wir nur im Allgemeinen zu erörtern haben und von denen 
nur eine im Vorigen nicht hervorgetreten ist; man kann 
a) die Durchdringungscurve der developpabeln 
Fläche mit der krummen, d. i. den Ort der Schnittpunkte 
der Erzeugenden der developpabeln mit der krummen Fläche F, 
b) die Durchschnittspunkte der Rückkehrkante 
der developpabeln Fläche mit der krummen bestim 
men; sie werden die Punkte sein, welche die Durchdringungs- 
curve bei a) mit der Rückkehrkante der Developpabeln ge 
mein hat. Soll man aber nur diese Punkte b) selbst bestim 
men, so thut jede die Rückkehrkante enthaltende Develop- 
pable, also z. B. auch ein projicierender Cylinder derselben 
den nämlichen Dienst; wählt man im Palle der Rotationsfläche 
mit zu OZ paralleler Axe den zu dieser Axe a derselben