Gebilde der vier Stufen, Zahl reeller Elemente. 132. 499
zählen ihre Ebenen, unter Abrechnung der wiederholten Zäh
lung der u Punkte der Scheitelkante oder der u Ebenen durch
die Reihe, also dass wir erhalten u{vr — u -(- 1) — u{u — 1)
reelle Elemente d. h. [u 1 — 2u -(- 2)u. In Folge dessen können
auch zwei Räume Element für Element eindeutig auf einander
bezogen werden.
Endlich bilden alle Geraden des Raumes ein Gebilde
vierter Stufe, wie man sieht, wenn man die Punkte einer
Ebene als Scheitel von Strahlenbündeln oder die Ebenen durch
einen Punkt als Geraden-Ebenen betrachtet; man erhält
(u 2 — w-f-1) 2 — (m—1)(m 2 —w-f-1) oder [u~—2w-f-2)(w 2 —«-(-!)
als Zahl der reellen Geraden des Raumes.
Die durchaus eindeutige Beziehung der Gebilde gleicher
Stufe auf einander bringt die darstellende Geometrie durch den
Process der Projection unmittelbar hervor bei den Ge
bilden erster und zweiter Stufe und im Process der cen
trisch collinearen Modellierung bei denen der dritten, in
allen Fällen in perspectivischer Lage, und sie sagt von
den ersteren, dass sie nach einer Lagenveränderung des einen,
in Folge deren sie aufhören perspectivisch zu sein, projectivisch
heissen, oder sie setzt fest, dass projectivische Gebilde
erster und zweiter Stufe solche sein sollen, welche
in Folge einer Lagenveränderung des einen perspec
tivisch werden können. Wir werden für die Gebilde erster
Stufe zeigen, wie hier der Begriff der Bewegung eli
miniertwerdenkann, welcher ganz ähnliche Bedenken gegen
sich hat, wie die Voraussetzung der Elementargeometrie. Ist
dann die Construction der projectivischen Gebilde erster Stufe
aus drei Paaren entsprechender Elemente begründet, so er
halten wir durch Zusammensetzung die schon bekannten Con-
structionen der projectivischen Gebilde zweiter und dritter
Stufe (§ 22., § 44.) aus vier respective fünf Paaren entsprechen
der Elemente, von denen keine drei respective keine vier einem
und demselben Gebilde nächstniederer Stufe angehören. Wir
construieren so mit Gebilden erster Stufe, nämlich Reihen
B, Ebenenbüscheln E und Strahlenbüscheln B drei projecti
vische Beziehungen gleichartiger und drei solche ungleich
artiger Gebilde: RR, EE, BB; RE, RB, EB.
Sodann rpit Gebilden zweiter Stufe, nämlich Punkt-
