500 III. Geometrie der Lage: A) Grundlagen und Coordinaten. 133. 
ebenen PE, Strahlenebenen SE, Strahlenbündeln SB und 
Ebenenbündeln EB vier projectivische Beziehungen gleich 
artiger Gebilde oder Collin eationen (§ 22.): PE, PE; SE, 
SE; SB, SB; EB, EB; und in drei zusammengehörigen Paaren 
sechs solche von ungleichartigen Gebilden oder Recipro- 
citäten, nämlich PE, SE; SE, SB; PE, SB; SE, EB; PE, 
SE; SB, EB; z. B. PE, SE aus vier Punkten A, B, G, B der 
ersten Ebene und den vier entsprechenden Strahlen a', b', c, d’ 
der zweiten, also zum Punkt P die Gerade p', indem wir aus 
der Projectivität von (A . BCDP) und {a. b'cdp) den Punkt 
ap und aus der von (B . ACBP) und (b' . a cctp') den Punkt 
b'p ermitteln. 
Endlich mit den Gebilden dritter Stufe dem Punkt 
raum PR und dem Ebenenraum ER die Collineation (§ 44.) 
in zwei Formen PR, PR; ER, ER und die Reciprocität 
PR, ER; letztere aus A, B, C, B, E und den entsprechenden 
Ebenen A', B', C', D', E' bestimmbar, d. h. von P zu P' führend, 
indem man aus den Projectivitäten der Ebenenbüschel und 
Punktreihen {AB . CBEP) und (A'B'. C'D'E'P'), (BC.ABEP) 
und (B'C' . AD EP), {CA . BBEP) und (C'A'. B'ü'E'P') die 
Punkte A'BP', B'C'p', C'AP' der Ebene P' erhält. (Vergl. §44.) 
Das Gesetz der Dualität haben wir schon früher (§ 23.) 
in diesem System der Gebilde, wie seither in den Entwicke 
lungen der darstellenden Geometrie bei zahlreichen Anlässen 
aufgezeigt (vergl. den Abschnitt I, B. und §§ 62. f., 82. f., 
100. f., 109., 115. etc.) ünd characterisirt. 
133. Zur Begründung des Begriffs der Projectivität der 
Gebilde erster Stufe gehen wir aus von dem Satz über per- 
spectivische Dreiecke (§ 19., 11.): Wenn drei Punkte 
paare A i} Aj'; A 2 , A 2 A 3 , A 3 'j die Ecken zweier Dreiecke 
A l A 2 A 3y A i 'A 2 A s ' ) in Strahlen aus einem Punkte S liegen, 
so begegnen sich die entsprechenden Verbindungs 
linien oder Seiten in drei Punkten einer Geraden s, 
undumgekehrt: W enn die Seiten zweier Dreiecke in Paaren 
durch drei Punkte einer Geraden s gehen, so liegen die drei 
Paare entsprechender Ecken derselben in Strahlen aus einem 
Punkte S. 
Es ist schon a. a. O. bemerkt worden, dass für die Lage 
der Dreiecke in verschiedenen Ebenen der Satz unmittelbar