502 III. Geometrie der Lage: A) Grundlagen und Coordinaten. 133.
A 3 A x , A 3 Ay] Ay Ay, Ay'Ay] A 2 A 4 , A 2 'A 4 sich in fünf Punkten
S i2 , S 23 , S w S u , S 24 einer Geraden s schneiden, so gehen
auch die Seiten A 3 A 4 , A 3 A 4 durch einen Punkt 5,4
dieser Geraden; und dual entsprechend* von zwei vollstän
digen Yierseiten. (Fig. 227;
die S sind unterdrückt.) Wenn
zwei vierflächige Ecken
A] A 2 A3 A 4 , Ay A 2 A 3 A 4
so liegen, dass fünf Paare ihrer
entsprechendenKanten in Ebe
nen eines Büschels liegen, so
liegt auch das sechste Kanten
paar in einer Ebene dieses
Büschels; und dual von zwei
vierkantigen Ecken aya 2 a 3 a 4 ,
ciyd 2 a 3 a 4 . Denn aus den Voraussetzungen des ersten Satzes
folgt, dass die Dreiecke Ay A 2 A 3 , Ay'A 2 A 3 und ebenso A { A 2 A 4 ,
AyA 2 A 4 für s als Axe und einen Punkt S als Centrum perspec
ti visch sind; in Folge dessen geht auch A 4 A 4 durch S und
somit sind auch die Dreiecke A 2 A 3 A 4 , A 2 A 3 A 4 für dasselbe
Centrum und dieselbe Axe perspectivisch, es müssen sich also
auch A 3 A 4 und A 3 A 4 in einem Punkte von s begegnen.
Liegen die beiden Vierecke in verschiedenen Ebenen, so
ist der Satz evident.
Wenn endlich insbesondere S V2} S 34 und ebenso S 23 , S 14
zusammen fallen, so ist für alle Vierecke, deren Gerade A X A 3 ,
AyA 3 sich in S 3l auf dieser Geraden schneiden, auch der
Schnitt S 24 von A 2 A 4 , A 2 A 4 in ihr fixiert; er ist der vierte
harmonische zu S 31 in Bezug auf S 12;34 und S 23 , lt .
(§ 16-, 12.)
Wir sagen, zu jedem von drei Punkten einer Reihe giebt
es nur einen ihm conjugierten vierten harmonischen Punkt in
ihr, den wir durch ein vollständiges Viereck als Schnittpunkt
mit der sechsten Seite desselben finden, für das wir die beiden
andern zu Schnittpunkten zweier Gegenseitenpaare machen,
während zugleich die fünfte Seite desselben durch den ersten
geht. Die Construction lehrt, dass 5,i, S 24 sich in entgegen
gesetztem Sinne bewegen müssen, wenn S 12 , 34 und S 23 , 14 fest
gehalten werden und umgekehrt; dass aber bei festgehaltenen
Fig. 227.
