506 III. Geometrie der Lage: A) Grundlagen und Coordinaten. 134.
jeder Funkt in dieser entsprechende Ebenen in jenen bestimmt.
(Vergl. § 90., 1.) Schneiden sich aber die Scheitelkanten t, t',
so wird man durch die Schnittlinie von zwei entsprechenden
Ebenen AA' Ebenen T, T' legen, welche B, C; respective B', C'
schneiden und so Strahlenbüschel erzeugen, welche Schnitte
desselben Ebenenbüschels sind, das nun zur Bestimmung aller
Paare von jenen dient. Man führt jedoch gewöhnlich durch
die Methoden der darstellenden Geometrie diese Fälle auf die
ersterwähnten zurück, indem man die Frojectionen der Reihen
und Strahlenbüschel statt dieser selbst und die Spurenbüschel
oder Axenschnittpunktreihen der Ebenenbüschel statt dieser
benutzt. (Vergl. z. B. §§ 91., 107.)
Dass sich hier die Theorie der Kegelschnitte als Punkt
reihen oder Enveloppen von Geraden, der Kegel zweiten Grades
als Büschel der Erzeugenden oder als Enveloppen der Tan
gentialebenen, und der Regelschaaren ganz in der Weise an-
schliesst, in der sie in den §§ 24. f., 68., 90. f. entwickelt
worden ist, bedarf keiner Ausführung.
Man nennt vier Elemente eines Gebildes erster Stufe
A, B, C, B einen Wurf und sieht, dass solche vier mit den
entsprechenden vier Elementen A’, B', C', B' eines zu ihm pro-
jectivischen Gebildes durch eine Relation verbunden sein müssen,
die wir als Proj e cti vität der Würfe bezeichnen und in
der Form schreiben
(A B CB) 7\ (.A'B'C'B')
wollen. Offenbar liefern vier Elemente A, B, C, B vier
und zwanzig Würfe, von denen je vier zu einander
proj ectivisch sind, nämlich z. B.
(.ABCB) /\ (BABC) /\ {CBAB) /\ (BCBA);
zieht man (wir überlassen es dem Leser, die bezügliche Figur
zu machen, wie auch im Folgenden) durch B eine Gerade und
projiciert von einem beliebigen Punkte P auf sie die Reihe in
(■BF CB), diese aber von A oder B auf CG in (.PHGC) respective
(■H*PGC) und die letzteren beiden von F oder E respective auf
AB zurück, so erhält man in beiden Fällen {BABC) und hat
die erste der obengeschriebenen Projectivitäten erwiesen. (Man
vergleiche hierzu § 16., 8.)
