508 III. Geometrie der Lage: A) Grundlagen und Coordinaten. 134. 
(.ABC..) /\ (A'B'C'..) und auch (A'BC..) (AB'C'..) 
und entspräche dem A' als einem Element des ersten Gebildes ein 
Element B* f im zweiten Gebilde, so wäre 
{AÄB B') /\ {A'A B'B*'), und weil immer {AÄBB') /\ (ÄABB) 
ist, so hätte man {A'A B'B*') J\ {A'AB'B), d. h. B*' identisch mit 
B. Man vergl. § 20. und § 25,, 4. f.; man wird bemerken, dass 
diese Linealconstruction der Involution genau der Fundamentalsatz 
von den Vierecken in § 133. ist. 
8) Hat die Involution zwei Doppelelemente G, H, so ist noth- 
wendig {GHAA') 7\ {GH A'A), d, h. dieselben bilden mit jedem 
Paare von Elementen der Involution eine harmonische Gruppe. 
9) Man construiere die Involution aus zwei Paaren AA V BB X 
nach der Methode von 1); insbesondere aus einem Doppelelement 
G und einem Paar nach 2), wobei man die harmonische Theilung 8) 
zeigt; oder aus beiden Doppelelementen G und H, speciell auch, 
wenn einer derselben unendlich fern ist. 
10) Man zeige in dem besondern Falle vereinigter Doppelele 
mente, dass von jedem Paar X, X x das eine Element mit jenen 
zusammenfallen muss. 
11) In zwei vereinigten projectivischen Gebilden erster Stufe 
mit den Doppelelementen F x , F 2 und den Paaren AA’ y BB' ist 
{F t F 2 AB) /\ {F 1 F 2 A'B') und da stets {F ] F 2 A'B') /\ {F 2 F x B'ä') 
so ist auch (F x F 2 ÄB) J\ {F 2 F x B'A’), d. h. ~F X , F 2X A, B'j B, Ä 
sind drei Paare einer Involution. 
12) Haben die vereinigten projectivischen Gebilde nur ein sich 
selbst entsprechendes Element E(4.), so folgt aus [FFAB..) /\ (FFA'B.) 
dass F, F; A, B'; A', B drei Paare einer Involution sind und somit 
dass F das eine Doppelelement derselben sein muss. 
135. An den in den vorigen Beispielen besonders betonten 
Fall der Involution in den Elementar-Gebilden erster Stufe 
schliesst sich die geometrische Theorie der imaginären 
Elemente an, deren Grundzüge wir hier darlegen müssen. 
Wir haben bei den Constructionen der Kegelschnitte aus fünf 
Elementen gesehen, dass dieselben in gleichartigen Paaren ima 
ginär sein können (§ 32., 14.), ohne dass die Construction des 
Kegelschnitts wesentlich erschwert wird, sobald sie als Dop 
pelelemente von Involutionen harmonischer Pole oder Polaren 
bestimmt waren; wir bemerken jetzt, dass diese Constructionen 
sich auf den Kegel zweiten Grades in der Weise übertragen, 
dass ein solcher aus zwei Involutionen harmonischer Polarlinien 
mit sich trennenden Paaren (involutorische Strahlbüschel an 
demselben Scheitel in verschiedenen Ebenen) d. i. aus zwei