510 III. Geometrie der Lage: A) Grundlagen und Coordinaten. 135. 
Wäre P x yon P durch X und X x harmonisch getrennt, so 
geht p x durch P und Y fällt auf Z,, Z auf Y x und man erhält 
den specieilen Fall 
(xpx,p,) Ä (m, r,), (zpx,p,) X (fr,*, y). 
In diesem wie im allgemeinen Fall zeigt die erste Gruppe den 
einen, wir wollen nach Maassgabe der Figur sagen, den posi 
tiven Sinn, die zweite den negativen Sinn der Bewegung 
im Gebilde von X aus; und es zeichnet den Fall der Involu 
tion ohne reelle Doppelelemente vor dem mit reellen Doppel 
elementen aus, dass die correspondierenden Gruppen der ent 
sprechenden Elemente X x Y x X Y, X x Z\ XZ\ oder speciell X x Y x XY 
und X x YX Y x mit den vorigen respective den gleichen -Sinn 
besitzen, sodass man im Falle nicht reeller Doppelelemente 
von einem Sinn d er In volution XYX x und von dem ent 
gegengesetzten Sinn derselben Involution XZX x oder 
X x IX sprechen kann. (§ 20,, 8.) 
Unsere Entwickelung sagt daher aus, dass in einem 
gegebenen involutorischen Elementargebilde ohne 
DoppelelementezujedemPaarV, X x ein anderes Y, Y x 
respective Z, Z x vorhanden ist, welches mit ihm einen 
W urf (IZj YY X ) respective (XX x ZZ x ) bildet, d er einem 
gegebenen Wurf mit sich trennendenPaaren {XX x PP X ) 
proj ecti visch ist und sodass X YX x respective XZX x 
einen vorgeschriebenen Sinn hat; insbesondere auch je 
ein zu XX x harmonisches Paar in beiderlei Sinn. 
Denken wir uns nun von irgend einem Elemente ausgehend 
in dem einen Sinn zuerst das eine, im andern zuerst das an 
dere Doppel dein ent erreicht, wie diess nach dem Obigen und 
nach dem Früheren naturgernäss ist, so haben wir in dem 
Sinn, den wir der bestimmenden Involution beilegen, 
das Unterscheidungsmittel der beiden conjugiert 
imaginären Elemente. Wir bestimmen also einen imagi 
nären Punkt in einer reellen Geraden durch eine elliptische 
Involution in derselben in Verbindung mit einem bestimmten 
Sinn, den wir ihr beilegen; eine imaginäre Ebene durch eine 
reelle Gerade mittelst einer elliptischen Involution von Ebenen 
aus dieser bei gegebenem Sinn; und eine imaginäre Gerade 
durch einen reellen Punkt in einer reellen Ebene und durch eine 
elliptische Involution im bezüglichen Strahlbüschel von be-