512 III. Geometrie der Lage: A) Grundlagen und Coordinaten. 135. 
der einen durch die Doppelelemente der andern gehen, so 
dürfen wir festsetzen: Ein imaginärer Punkt liegt in einer 
imaginären Ebene, wenn er entweder in ihrer reellen Geraden 
liegt oder wenn die ihn bestimmende Involution perspectivisch 
ist zu derjenigen, welche die imaginäre Ebene darstellt. Eine 
imaginäre Gerade erster Art enthält einen imaginären Punkt 
oder liegt in einer imaginären Ebene dann, wenn die Invo 
lutionen perspectivisch sind, welche beide bestimmen; die reelle 
Gerade des Punktes respective der Ebene liegt dann in der 
reellen Ebene, oder geht durch den reellen Punkt der Ge 
raden. Und wenn zwei imaginäre Elemente in einander liegen, 
so liegen auch ihre conjugierten in einander. 
Wenn von zwei Punkten einer reell ist, so ist ihre 
Verbindungslinie nur dann reell, wenn sie mit der reellen 
Geraden durch den imaginären Punkt zusammenfällt, d. h. 
wenn der reelle Punkt in derselben liegt; andernfalls ist sie 
imaginär und durch die Involution aus dem reellen Punkte 
und ihren Sinn bestimmt, welche perspectivisch sind zu der 
den imaginären Punkt bestimmenden Geraden und ihrem Sinn. 
Analog für die Schnittlinie einer reellen Ebene mit einer ima 
ginären. Die Verbindungslinie von zwei imaginären Punkten 
ist nur reell, wenn sie die reelle Gerade für beide ist; schnei 
den sich diese reellen Geraden i, t 1 der imaginären Punkte 
in einem Punkte X, so können die beiden imaginären Punkte 
G, G l durch die von diesem Punkt ausgehenden projectivischen 
Würfe XYX l Y l und X 1 7 1 Y t l dargestellt werden und die 
Verbindungsgeraden YY 1 , X t X t \ Y i Y [ 1 bestimmen einen Punkt 
und mit dem von ihm nach X gehenden Strahl die Involution 
xyx x yi und ihren Sinn, welche zu beiden gegebenen Involu 
tionen perspectivisch ist und die imaginäre Verbindungsgerade 
von G mit £' darstellt. Die Verbindungslinie der conjungiert 
imaginären Punkte HH 1 wird durch dieselbe Involution mit 
dem entgegengesetzten Sinn dargestellt oder ist ihr conjugiert. 
Vollständig analog erhält man den Schnittpunkt von 
zwei imaginären Geraden in einer reellen Ebene 
und die Verbindungs ebene von zwei imaginären Ge 
raden aus demselben reellen Punkte. Ebenso die 
Schnittlinie von zwei imaginären Ebenen, deren 
reell e^Geraden sich schneiden; man bestimmt sie durch