Die Verbindungen der imaginären Elemente. 136.
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Wenn man die beiden imaginären Punkte oder Ebenen
durch ihre conjugierten ersetzt oder was dasselbe ist, wenn
man den Sinn der sie bestimmenden Involutionen und damit
den Sinn der involutorischen Regelschaar l in den entgegen
gesetzten vertauscht, so wird dadurch die conjugierte Gerade
der ersten definirt. Alle Geraden t in den Ebenen des Raumes
und alle Geraden CT aus den verschiedenen Punkten des Raumes,
welche die erste Gerade liefert, gehören auch der conjugierten
an, nur mit Umkehrung des Sinnes ihrer Involutionen; oder
jede reelle Gerade, welche eine imaginäre Gerade zweiter Art
schneidet, trifft auch ihre conjugierte. Die gemeinschaft
lichen Transversalen von vier reellen Geraden sind
also, falls sie nicht reell sind, zwei conj ugiert ima
ginäre Gerade zweiter Art.
Wenn wir eine imaginäre Gerade zweiter Art und eine
imaginäre Ebene oder einen imaginären Punkt zugleich vor
stellen, so können sie nur einen Punkt respective eine Ebene
— natürlich imaginär — gemein haben; legt man durch jene
im ersten Falle zwei imaginäre Ebenen, deren reelle Träger
den reellen Träger der imaginären Ebene schneiden — also
aus zwei willkürlichen Punkten derselben — so schneiden die
ersteren die letztere in imaginären Geraden erster Art in der
selben Ebene und diese schneiden sich in einem Punkte.
Und alle die fundamentalen Sätze über die Be
ziehungen zwischen den drei Elementarformen; Punkt,
gerade Linie und Ebene behalten auch für die nun ent
deckten nicht reellen Punkte, Geraden und Ebenen
ihre Gültigkeit.
Da unsere Entwickelungen über die Grundlagen der Pro-
jcctivitätstheorie nur diese fundamentalen Sätze benutzten, so
kann eine genauere Untersuchung derselben nur zeigen, dass
die Projectivität der Gebilde die proj ectivische Ein
ordnung ihrer imaginären Elemente mit umfasst und
dass sie auch durch solche Eie mente in gleicher Weise
bestimmt wird. Zu einer solchen Durchführung ist hier nicht
der Raum und es ist überdiess pädagogisch besser, sie als eine er
gänzende Untersuchung der erstmaligen vollen Durchforschung
des elementaren Theils der Geometrie der Lage anzuschliessen;
denn diese liefert weiterhin wesentlich ergänzende Anschauungen.