Elementenzahlen der Gebilde. Coordinateli. 137.
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Der Raum enthält ausser den (m 2 — 2u' l -\- 2u — 1) reellen
Punkten oder Ebenen noch die imaginären Punkte respec-
tive Ebenen seiner (m 4 — 3 m 3 -j- 5 m 2 — 4 m -f- 2) reellen Ge
raden, also in Allem die Elementenzahl
(m 3 — 2m 2 + 2m-1) + (m 2 — 3m+2) (m 4 —3w 3 -f 5m 2 —4m+2)
oder (m—1) 6 +(m—1) 4 +(m—1) 2 +1. Die Zahl der Geraden des
Raumes erhalten wir durch die Zählung von einer beliebigen
Ebene aus, durch jeden der (m 4 — 4m 3 -{-7m 2 —6m-)-3) Punkte
gehen ebenso viele Strahlen, wobei nur die Strahlen der Ebene
nicht ein sondern (m 2 — 2m -f- 2)mal gezählt sind; man erhält
also (m—1) 8 +(m—1) 6 -[-2(m—1) 4 -|-(m— Gerade des Raumes.
Die Gebilde gleicher Stufe enthalten also auch
unter Berücksichtigung der imaginären gleich viel
Elemente; aber ihre Unendlich-Vielfachheit wird durch den
doppelten Index der Stufe ausgedrückt.
137. Wir sind in den vorigen §§ ohne jede Anwendung
elementarer geometrischer Sätze zur Begründung derjenigen
Lehren von der Projectivität der Gebilde erster Stufe gelangt,
die wir früher von denselben aus gegeben hatten, und von
welchen allein der Aufbau des Systems der Geometrie der Lage
und sein Ausbau in allem Einzelnen abhängt; wir dürfen daher
erwarten, dass die Elementargeometrie sich durchaus als ein
specieller Fall der projectivischen erweisen würde und können
zudem insbesondere für die Maassbegriffe die Art und Weise
ihrer Einfügung in das Ganze vorhersehen als durch die
Theorie" der Involution vermittelt; aber wir versagen uns die
Ausführung alles dessen und begnügen uns mit der im Vor
hergehenden liegenden Gewähr dafür, dass die Elementar
geometrie und Trigonometrie mitderprojectivischen
Geometrie, insbesondere mit dervonderperspecti-
vischen Raumansicht ausgehenden, auf demselben
Boden und im Einklang stehe.
Wenn nun in den früheren Entwickelungen ob auch ohne
directen Gebrauch der Coordinatengeometrie doch Begriffe
und Vorstellungen analytischer Art mit Erfolg benutzt wurden,
so liegt die Berechtigung dazu nur in dem Umstande, dass
aus den fundam entalen geometri sehen Bestimmungs
methoden d er Raum-Elemente die analytischen sich
direct vollständig und allgemein ergeben, sobald man
