522 III. Geometrie der Lage: A) Grundlagen und Coordinaten. 137. 
die algebraische Zahl als Bestimmungsmittel einführt. 
Wir geben den Nachweis hiervon in der Weise, dass wir zur 
Entwickelung nur die soeben allgemein begründeten Lehren 
von der Projectivität der Gebilde erster Stufe, insbesondere 
von der Projectivität der Würfe innerhalb derselben benutzen. 
Innerhalb der Gebilde erster Stufe machen wir das 
Doppelverhältniss, welches von jedem vierten Element mit 
drei festen Elementen des Gebildes bestimmt wird, als eine 
algebraische Zahl zum Bestimmungsmittel für dieses vierte 
Element — eben jene zwischen projectivischen Würfen über 
einstimmende Function der vier Elemente, in die gleich an 
fangs wie jetzt zuletzt der wesentliche Inhalt des Begriffes 
der Projectivität gelegt erschien. Wir gelangen durch Zu 
sammensetzung in ganz entsprechender Weise wie in der geo 
metrischen Construction von den Gebilden erster zu denen 
zweiter und dritter Stufe so nun auch von der algebraischen 
Bestimmungsweise der Elemente in den Gebilden erster Stute 
zu der der Elemente in den Gebilden höherer Stufe und damit 
zu der Einsicht, dass zwischen den geometrischen 
üntersuchungsmitteln, auf welche die graphische 
Methode uns geführt hat, und den analytischen Me 
thoden der Coordinatengeoraetrie kein wesentlicher 
Unterschied besteht. 
Aber der Uebergang zur analytischen Methode eröffnet 
den Weg zur allgemeinen Untersuchung der geometri 
schen Formen n ten Grades, zu denen wir im stufenweisen 
Aufbau nicht gelangen könnten; die Art des Uebergangs sichert 
zugleich die geometrische Anschaulichkeit und die Mög 
lichkeit, die in den ersten Stufen bewähr teUntersuchungs- 
weise im Wesentlichen beizubehalten. 
Elemente der analytischen Geometrie setzen wir nicht 
voraus; aber ganz nach Analogie des Verhältnisses, in dem 
wir die construierende projectivische Geometrie im Vorigen 
zur Elementargeometrie erkannt haben, werden wir finden, 
dass die elementaren Coordinaten des Cartesius einen speciellen 
Fall der projectivischen Coordinaten bilden; die elementare 
analytische Geometrie zeigt sich in reicherer Ausgestaltung in 
der allgemeinen enthalten. Wenn wir dabei die Verbindung 
der vorherentwickelten Begriffe über die imaginären Elemente