Coordinateli in Elenientargebilden erster Stufe. 138. 523 
mit der Ausdrucksform der Cartesischen Coordinateli kurz be 
leuchten , so glauben wir für die Einordnung derselben in die 
analytische Untersuchungsmethode genug zu thun, nach der 
Natur der Beziehung, in welcher wir jene speciellen Coordi- 
naten zu den allgemeinen finden werden. 
138. In einer geradlinigen Punktreihe ist jeder vierte 
Punkt P durch das Doppelverhältniss bestimmt, welcher er mit 
drei festen Punkten derselben A ìì A 2 , E bildet; ist (Fig. 233) 
P2 
Pl 
p 1 
p 2 : ß 2 x 2 
E 
so sind x x , x 2 zwei algebraische Zahlen, welche die Lage des 
Punktes P innerhalb der Geraden bestimmen, also die Coor- 
dinaten dieses Punktes; man Fig, 233. 
kann sagen, dass sie mit den Ab- 
ständen des Punktes E von den Fun- 
damentalpunkten Ä 2 , A x als Einheiten gemessene Längenzahlen 
der Abstände des Punktes P von denselben Fundamental 
punkten sind. 
Für P in E hat man p x — <?,, p 2 = e 2 > also x x — ¿r 2 = l, 
und E kann somit als Einheitpunkt des Coordinatensystems 
der Reihe bezeichnet werden. Für P in A x ist x 2 = 0 und 
x x — 0 für P in A 2 , so dass diesen Punkten die Grenzwerthe 
0 und 00 als Werthe des Doppelverhältnisses entsprechen. 
Durch x { =kx 2 ist ein Punkt P der Reihe bestimmt, der 
durch (A l A 2 EP) = k aus A x , A 2 , E construiert wird. 
Im ebenen Strahlenbüschel ist jeder Strahl p durch das 
Doppelverhältniss bestimmt, welches er mit drei festen Strahlen 
desselben «j, a 2 , e (Fig. 234) bildet; ist 
sin («,, e) sin («|, p) e 2 ' 
(«, a 2 ep) 
Fig. 234. 
sin (a 2 , e) ' sin (fl 2 , p) 
7t, : £, 
• c 2 =>2 
so sind § 2 zwei Zahlen, die die Lage 
des Strahls p im Büschel bestimmen, d. h. 
Coordinaten dieses Strahls; man kann sagen, dass sie die 
mit den Abständen zweier festen Punkte in « 2 , «, respective 
von e gemessenen Längenzahlen der Abstände dieser Punkte 
von p sind.