§ 2. Part. Differentialgln. 1. 0., deren Charakteristiken Krümmungslinien sind. 649 
Vereine von oo 2 Elementen immer wieder in solche über, wobei sie 
insbesondere die oo 2 Elemente einer Geraden des Raumes (x, y, z) in 
die einer Kugel des Raumes (X, Y, Z) verwandelt. Irgend zwei ver 
einigte Flächenelemente im Raume (x, y, z) gehören immer einer 
Fläche an. Da diese vermöge der Transformation in einen Verein im 
Raume (V, Y, Z) übergeführt wird, so erhellt, dass jene Transfor 
mation in der That vereinigte Elemente in vereinigte Elemente über 
führt und deshalb eine Berührungstransformation ist. 
Analytisch kann man dies aus den Gleichungen (53) und (54) in § 4 des 
10. Kap., S. 468, erkennen. Sie ergehen nämlich 
dZ — PdX — QdY = (dz — pdx — qdy). 
Die Bedingung (19) ist also hier erfüllt. 
Wir wollen diese Berührungstransformation, welche die Geraden 
des Raumes (x, y, z) in die Kugeln des Raumes (X, Y, Z) verwandelt, Ha "^ tgc ' 
auf eine solche partielle Differentialgleichung erster Ordnung 
F(x, y, z,p,q) = 0 
anwenden, deren Charakteristiken Haupttangentencurven sind. 
Sie wird diese Differentialgleichung in eine neue partielle Diffe 
rentialgleichung erster Ordnung im Raume (X, Y, Z) überführen: 
I\(X, Y, Z, P, Q) = 0. 
Dabei gehen die charakteristischen Streifen von F = 0 in die der Glei 
chung F t = 0 über. Da aber die Curven der charakteristischen Streifen 
der Gleichung F — 0, also ihre Charakteristiken, nach Voraussetzung 
Haupttangentencurven der Integralflächen von F — 0 sind, so folgt aus 
Theorem 20, S. 474, sofort, dass die Charakteristiken der neuen partiellen?art.Diffgi., 
Differentialgleichung F l — 0 Krümmungslinien auf den Integralflächen Krümmgk' 
von F l = 0 sind. 
Wenn umgekehrt 
FAX, Y, Z, P, Q) = 0 
eine solche partielle Differentialgleichung erster Ordnung im Raume 
(X, Y, Z) ist, deren Charakteristiken auf allen Integralflächen Krüm 
mungslinien sind, so liefert die Ausführung der inversen Transfor 
mation, indem wir von den Elementen (X, Y’ Z, P, Q) zu den Elementen 
(x, y, Z, p, q) übergehen, dass die hervorgehende partielle Differential 
gleichung erster Ordnung 
F{X, y, Z, p, q) = 0 
im Raume (x, y, z) die Eigenschaft hat, dass ihre Charakteristiken auf 
allen Integralflächen Haupttangentencurven sind.