588 UL Geometrie der Lage: B) Projectivität der Gebilde. 151. 
bestimmt und suchen den Werth ihres Doppelverhältnisses in 
Function der Parameter. Wir haben für die beispielsweise 
gedachte Punktreihe zur Zurückführung auf das Gesetz des 
Theilungsverhältnisses in § 148. 
(W 4T 2 w W) = № W W 7) ‘ (#1 *2*4 7) 
(X 4 ZX 3 F) {X x ZX A T) (X t X 3 ZY) — 1 . (X, X 4 ZT) — 1 
“ (X 2 ZXn F) TXyZX, Y) ” (X 2 X 3 Z F) — 1 ' (X 2 X, Z Y) —■ 1 
(S x X x YZ) : (S) X 3 YZ) — 1 (S, X, FZ) : (S 4 X 4 FZ) — 1 
~~ \s x X^Y~Z) : (S 1 X 3 YZ) — 1 : (S t X 2 FZ) : (S X JT 4 YZ) — 1 
oder auch 
(X.X^X,) 
‘3 n \ 
‘1 n 4 
t 4 /t 4 
i 2 /«3 
*3"2 
2 "4 
t 4 « 2 
Fällt X 4 in F, X 2 in Z ; so haben wir A 4 = 0, A 2 = oo oder 
n, = 0, = 0 und das Doppelverhältniss der Gruppe 
YZX 3 X 4 wird 
? oder — : —L* 
a 4 ot 3 m 4 • 
Dieselbe Betrachtung und dasselbe Resultat gilt auch für Strah 
lenbüschel und Ebenenbüschel. 
Sollen nun zwei Gebilde erster Stufe projectivisch, d. h. 
für alle entsprechenden Elementengruppen von gleichem Dop 
pelverhältniss sein, so müssen drei feste entsprechende Ele- 
mentenpaare X lt X 2 , X 3 ; X 4 ', X 2 , X 3 ', die wir in Bezug auf 
willkürlich gewählte Fundamentalelemente F, Z; V\ W' respec- 
tive durchParameterwerthe A,, A 2 , A 3 ; A/, A 2 ', A 3 ' bestimmt denken, 
mit einem vierten beweglichen Paar X, X' entsprechender Ele 
mente von den Parametern A, A' in jeder Lage gleiche Dop 
pelverhältnisse bestimmen, d. h. man muss haben 
*i 
Ai 
A 2 
oder 
¿3 . 
A 3 A 2 
A' 
A' 
( A i “ h) ( A 2 - ¿X V) (V—A')=(Ai'-—A 3 ')(A 2 '—A')(A 2 —A 3 )(A 4 —A); 
d. h. es besteht zwischen den Parametern der ent 
sprechenden Elemente von zwei projectivischen Ge 
bilden erster Stufe eine Gleichung von der Form 
ci A A — h A —J— c A — d = 0