Doppelelemente der vereinigten projectivischen Gebilde. 151. 591 
XX'[aß' — a'ß) — X [a — ß) a'ß' -j- X'[a' — ß') aß = 0, 
X X' [a — ß') — X' [aa' — ß ß') -f- (ß — ß) a'ß' — 0 5 
XX' (a — ß) — X [a a — ß ß') -f- [a — ß') a ß — 0, 
X{a' — ß') — X'[a — ß) -f- [aß' — a'ß') — 0. 
In den beiden Fällen 3) und 4) erhält man aber respectiye 
Xa — X'a = 0, XX' — = 0. 
Wenn die beiden projectivischen Elementargebilde erster 
Stufe gleichartig sind (Reihen oder Büschel) und in einander 
liegen oder wenn sie ungleichartig sind und jedes Element des 
einen in einem Elemente des andern liegt (Reihe und Ebenen 
büschel, Reihe und Strahlenbüschel in derselben Ebene, Strah 
lenbüschel und Ebenenbüschel, dessen Scheitelkante den Scheitel 
des erstem enthält), so wird man sie auf dieselben zwei Fun 
damentalelemente im ersten Falle und im andern Falle auf zwei 
Fundamentalelementenpaare beziehen, von denen die einen die 
andern enthalten; und da diese im Allgemeinen einander nicht 
entsprechen, so wird die Projectivität der Gebilde durch die 
allgemeine Gleichung 
aXX' — bX -j- cX' — d — 0 
dargestellt; wenn aber X und X' denselben Werth hätten, so 
würden die beiden so bestimmten entsprechenden Elemente 
im Falle gleichartiger Gebilde sich decken, im Falle ungleich 
artiger Gebilde aber in einander liegen. Die Annahme X■—X' 
giebt aber die Bedingung 
a X 2 — [b — c) X — d — 0, 
aus welcher zwei Werthe von X sich ergeben 
1 b — c -f~ V(b — c) 2 -f- 4 «d 
2 a 
die entweder reell und verschieden sind, oder einander gleich, 
oder nicht reell; und diese liefern zwei Doppelelemente 
der projectivischen in einander liegenden Gebilde 
oder zwei in einander liegende entsprechende der b e - 
zeichneten ungleichartigen Gebilde. (§§ 19., 134.) 
Im Falle reeller Doppelemente kann man diese als Fun 
damentalelemente wählen und erhält die Projectivitätsgleichung 
in der Form 3) also X : X' — c : h, d. h. das Doppelverhält- 
niss, welches ein Elementenpaar mit den Doppel 
elementen bildet, ist constant. (§ 19.)