592 III. Geometrie der Lage: B) Projectivität der Gebilde. 151. 
Unter den vorher gemachten Voraussetzungen können die 
proj ectivischen Elementargebilde auch involutorischliegen, 
so dass ihre entsprechenden Elemente Paare bilden, weil sie 
sich vertauschbar entsprechen (§ 20., § 134., 7.); diess 
findet entweder für kein Paar oder für alle Paare statt, und 
zwar dann, wenn durch Vertauschung von A und X' die beiden 
Ausdrücke dieser Grössen aus der Projectivitätsgleichung in 
einander übergehen, d. h. wenn c = — b ist. Dann ist 
die Gleichung der Projectivität in A, A' symmetrisch, wir 
schreiben 
ci X A., — b (A —j— A t ) — d = = 0 5 
die Involution wird durch zwei Paare a,«,; ß,ßi be 
stimmt, ihre Gleichung ist mittelst derselben 
A Ai, A —f— A a , 1 
CfCfj , (X -{- , 1 
ßßi; ß + ßi; 1 
= 0, 
d. h. man hat 
a = 0 -j- a t ) — (ß + /3,), b = aa t — /3/3,, 
d = ßßi ( tt + a i) — ua iiß + ßi)‘ 
Den Doppelelementen entsprechen die Parameterwerthe 
, b -4- ]/b 2 -f-ad 
X = , 
a 
und die Realität derselben vorausgesetzt geht durch Wahl 
derselben zu Fundamentalelementen die Gleichung in die Form 
3) A:A 1 ==—1 über, welche die harmonische Gruppierung 
jedes Paares mit dem Paar der Doppelelemente aus 
spricht. (§ 20., § 134., 8.) 
1) Zwei projectivische Strahlen- oder Ebenenbüschel enthalten 
immer ein entsprechendes Paar rechter Winkel. 
Um diess zu zeigen denken wir die Büschel auf rechtwinklige 
Paare von Fundamentalstrahlen y, z; v, m' bezogen, die also als 
nicht entsprechend vorausgesetzt werden, so dass die allgemeine 
Projectivitätsgleichung 
«AA' — 6A' -j-cA' — d — 0 
d — c X' , d -f- b A 
a X — b ’ a X -j- c 
gilt mit