Entsprechende Rechtwinkelpaare der Büschel. 151. 
593 
Wären nun A, Aj die Parameter von zwei zu einander rechtwinkligen 
Strahlen x, x x des ersten Büschels, so hätte man 
1= — sin ( x f y) x ~ . sin (*i > y). 
sin (x, z)’ 1 sin (x { , z) : 
und wegen der Rechtwinkligkeit von x, x x sind A, A t entgegengesetzt 
reciprok zu einander oder das Product der Theilverhältnisse rechtwink 
liger Strahlen in Bezug auf rechtwinklige Fundamentalstrahlen ist 
AA, = — 1. Ist nun das zu einem solchen Strahlenpaar entsprech 
ende Paar wieder rectangulär, so muss die gleiche Relation auch 
für dieses erfüllt sein, d. h. man hat für den Parameter A des 
einen Schenkels in einem Paar entsprechender rechter Winkel die 
Bedingung 
d -|- 6 A — dA-j-ö 
oA -f- c a — cA 
— 1 oder A 2 
ß 2 -f- h~—c 2 —d 2 
ac -f- bd 
■1=0; 
dieselbe zeigt einerseits, dass es stets zwei reelle Werthe des Pa 
rameters A giebt, die ihr genügen, anderseits, da das Product der 
selben die negative Einheit ist, dass die zugehörigen Strahlen ein 
einziges rechtwinkliges Paar bilden, dessen entsprechendes wieder 
rechtwinklig ist. Im Falle der Involution erhält man dasselbe Er 
gebnis, nur mit der vereinfachten Gleichung 
+ X a -±~? -1=0. 
0 
Man kann deshalb auch immer die Rechtwinkelstrahlen zu den fun 
damentalen wählen und erhält dann für das directe Entsprechen 
derselben A:A'—c:b und für das verkehrte Entsprechen AA' = d;a. 
Bezeichnet man also die Rechtwinkelstrahlen durch q, r im ersten 
und durch q, r im zweiten Büschel, so ist im ersten Falle 
, sin (x, q) , . x ,, , f ' 
A — ; —r — — tan (x, q), A == — tan (x, q), 
sin {x, r) 
also 
tan (x, q) : tan (xq) — c : (§ 18., 4.) 
im anderen aber 
A = — tan (sc, r), A' = — tan (x\ q ) 
und somit 
tan (¿r, r) . tan {x', q) = d : a. (§ 18., 4.) 
2) Wenn die (konstanten der vorigen Relationen gleich + 1 
sind, so hat man gleiche Büschel von gleichem oder entgegenge 
setztem Sinn; dann ist entweder b = — c, a — d oder b — c, 
a — — d und somit ac -f- bd — 0, a 2 -(- h 2 — c 2 — d 2 — 0, d. h. 
die Gleichung der Rechtwinkelstrahlen wird unbestimmt, es giebt 
"Fiedler, darstellende Geometrie. 2. Aufl. 38