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1. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
matiker Pierre de Fermat hat ihn nämlich zuerst 1 ) (Brief an 
Frenicle vom 18. Oktober 1640) für den speziellen Fall, daß m eine 
Primzahl, cp (in) also gleich m—1 ist, allerdings ohne Beweis, aus 
gesprochen. Der erste Beweis findet sich (um 1700) in dem Aufsatze 
„Nova algebrae promotio“ von Leibniz 2 ), der wahrscheinlich von 
Fermats Entdeckung keine Kenntnis hatte. Da aber dieser Aufsatz 
nicht gedruckt, vielmehr erst später im Nachlaß von Leibniz ge 
funden worden ist, konnte er auf die Zeitgenossen keinen Einfluß 
ausüben. Die ersten an die Öffentlichkeit gelangten Beweise stammen 
von L. Euler (Comment. Petrop. ad annum 1736, Bd. 8, S. 141—146; 
Novi Comment. Petrop. ad annum 1758/59, Bd. 7, S. 49—82; Novi 
Comment. Petrop. ad annum 1760/61, Bd. 8, S. 74 u. ff., an welch 
letzterer Stelle der verallgemeinerte Permatsche Satz bewiesen ist). 
D. Kriterien für die Teilbarkeit der systematischen Zahlen. 
Ob eine in systematischer Form geschriebene Zahl 
A = a n9 n + a„-i9 n ~ x H h a 2 9 2 + «i9 + «o 
durch eine andere Zahl teilbar ist, kann man häufig entscheiden, ohne 
die Division wirklich auszuführen. 
I. Teilbarkeit durch eine Zahl, welche keine anderen 
Primfaktoren als g enthält. 
Jede derartige Zahl ist Teiler von g oder einer Potenz von g 
mit hinreichend hohem Exponenten. 
Da 
A = a 0 (mod g), 
A = a x g + a 0 (mod g 2 ), 
A = a 2 g 2 + a t g + a 0 (mod g 3 ) usw., 
so ist A teilbar durch g oder einen Teiler von g, wenn das Gleiche 
von a 0 gilt, teilbar durch g 2 oder einen Teiler von g 2 , wenn das Gleiche 
von a x g -f- a 0 gilt, teilbar durch g 3 oder einen Teiler von g 3 , wenn das 
Gleiche von a 2 g 2 -f- a^g -f a 0 gilt usw. 
Für g gleich zehn erhält man so Regeln für die Teilbarkeit durch 
10, 2, 5; 
100, 4, 20, 25, 50; 
1000, 8, 40, 125, 200, 250, 500 usw.; 
1) M. Cantor, 'Vorlesungen II, S. 776 u. 777. 
2) M. Cantor, Vorlesungen III, S. 831.