Kapitel XL Artikel 88. 
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Man denkt sich die Kugel nach den beiden in Fig. 88 a 
gezeichneten Projektionen auf der Horizontalebene liegend 
und samt ihren Lichtstufenlinien auf die horizontalproji 
zierende Ebene des Lichtstrahls p q projiziert, dann diese 
Ebene in die Horizontalebene umgeklappt. 
Der Lichtstrahl durch den Kugelmittel 
punkt projiziert sich auf die Vertikalebene 
pq als eine Gerade, die mit ihrer Horizontal 
projektion den aus Art. 38 bekannten 
Winkel a = 35 0 15,9' einschliesst; in der 
Umklappung wird also der Durchmesser 
lichtstrahl diesen Winkel mit der Um- 
kTappungsbasis p q einschliessen. Die 
Lichtstufenkreise der Kugel erscheinen in 
‘ der Projektion auf der Vertikalebene p q 
als gerade Linien senkrecht zum Durch 
messerlichtstrahl; so erscheinen sie also 
auch in der Umklappung. 
Denkt man sich nun einen der Licht 
stufenkreise der Kugel aus Figur 82, z. B. 
c d, auf die horizontale Grundebene proji 
ziert, so wird sich in der umgeklappten 
Ebene p q dessen Mittelpunkt m u nach 1112 
projizieren, also im Raum der Mittelpunkt 
m selbst nach m, projizieren, wobei m n in, 
senkrecht zur Lichtstrahlprojektion ge 
richtet ist. Der Kreis selbst wird sich als 
Ellipse projizieren, deren grosse Achse 
s, t, durch;«, geht, senkrecht zur Lichtstrahl 
projektion steht und gleich dem Kreisdurch 
messer c d oder c u d u ist; denn der horizon 
tale Durchmesser des Raumkreises c d ist 
senkrecht zur Lichtstrahlprojektion gerichtet 
und projiziert sich auf die Horizontal 
ebene in wahrer Grösse. Der tiefste Punkt 
c und der höchste Punkt d des Raumkreises 
c d werden sich nach c, und d, projizieren, 
wobei c u c, und d u d, senkrecht zur Licht 
strahlprojektion gerichtet sind und c, d, die 
kieine Achse der Ellipse d^rstellt. 
In derselben Weise werden alle ande 
ren Lichtstufenkreise der Kugel in deren 
Grundriss übertragen werden können und 
als Ellipsen erscheinen. 
Für die später zu betrachtende Ver 
wertung der Normalkugel zum Schattieren 
anderer gekrümmter Flächen ist es zweck 
mässig, sich die Punkte b\ ¿2 u. s. w. zu 
verschaffen, in Velchen die elliptischen 
Lichtstufenlinien des Kugelbildes dessen Umriss berühren. 
Der Umrisskreis der Horizontalprojektion den Kugel er 
scheint in der Umklappung als Linie x u z u parallel p q, 
somit die zwei Schnittpunkte des Lichtstufenkreises c d mit 
dem Umrisskreis in b„; das Zurückklappen von b H auf den 
Umrisskreis im Grundriss liefert dort die Berührungspunkte 
b\ und b-i. 
Das ganze Verfahren hätte sich auch in der Vertikal 
projektion der Kugel mit Umklappen um die Vertikal 
projektion des Lichtstrahls durchführen lassen und es wäre 
dann die Figur samt allen Hilfslinien völlig kongruent der 
nun erhaltenen geworden, nur mit symmetrischer Lage zur 
Horizontalrichtung. Die Vertikalprojektion der Normal 
kugel bietet also in Beziehung zur Vertikalprojektion 
Figur 88 a. 
des Lichtstrahls genau dasselbe Bild, das im Grundriss 
der Kugel gegenüber dem Grundriss des Lichtstrahls 
erschien. Es folgt daraus, dass man nur eine Projektion 
der Normalkugel zu zeichnen nötig hat und diese bald 
als Grundriss, bald als Aufriss betrachten kann. 
Figur 88 a bietet die Normalkugelprojektion im Auf 
riss in kleinerem, Figur 88b in möglichst grossem Mass 
stab. Für beide Auffassungen ist die Richtung m n oder 
die Richtung der kleinen Ellipsenachsen als Lichtstrahl 
projektion festzuhalten. Soll also die Figur als Grundriss