der frühere Reflexpunkt r der hellste Punkt sein wird
und dass die Parallelkreise gleicher Lichtstärke von diesem
aus genau mit derselben Grösse und Entfernung und
Lichtstärke auftreten wie früher auf der vollen Kugel vom
hellsten Punkt h aus. Weil nun die Licht- und Schatten
kreise symmetrisch liegen, so heisst das einfach: ,,Die
Linien gleicher Lichtstärke für die Darstellung der halben
Hohlkugel sind die auf der Darstellung der konvexen
Normalkugel punktiert gezeichneten Ellipsen und Ellipsen
teile unter Umkehrung der Vorzeichen plus und minus in
ihrer Benennung.“
Die erste Lichtdrucktafel bietet in der mittleren Figur,
der oberen Reihe die konvexe Normalkugel mit ihren
Lichtstufen als Aufrissbild, und zwar unter der Voraus
setzung, dass ein Schlagschatten auf die Kugel falle, der
ebenfalls alle sichtbaren Lichtstufenkreise umfasst. Es
sind somit in dieser Darstellung alle Lichtstufen vereinigt
mit Ausnahme von — o, dessen Fläche in Vorder- und .
Oberansichten nie sichtbar Wird, indem, immer nur ein
sehr schmaler Streifen von — 0,7 das Endglied der Licht
stufenreihe im Reflex bilden kann. Nur Seitenprojektionen
als Rechtsansichten und Grundrisse als Unteransichten
können diese Lichtstufe mit sich bringen.
Die hohle Halbkugel ist schattiert auf der zweiten
Lichtdrucktafel, ,und zwär erscheint sie unter dem ge
schweiften Gesims als Ausfüllung der Friesfläche.
XII. Verwertung der Normalkugel zum Schattieren
anderer Körper.
.Die Normal kugel als Lichtstufenmassstab.
Wenn im’ früheren gesagt wurde, die Normalkugel
sei ein „Lichtstuferimassstab“, so soll das nicht nur
ausdrücken, dass alle Lichtstufen auf ihr verwirklicht sind,
sondern auch, dass mit ihrer Hilfe die Lichtstufen anderer
Körper gemessen werden können Wie beim Anhalten
des Längenmassstabes an eine Strecke ein Längenmass,
so kann beim Anhalten der Normalkugel an einen Flächen
punkt die Lichtstufe dieses Punktes abgelesen werden.
Wenn etwa an eine Seitenfläche eines regelmässigen
Dodekaeders oder an das Innere einer ellipsoidischen
Schale eine als Raumform ausgeführte Kugel mit Licht
stufenkreisen angelegt wird, so giebt der Berührungspunkt
beider Körper die Lichtstufe der Seitenfläche oder des
Punktes für eine Lichtrichtung, welche durch den Durch
messer der Kugel von + o nach — o ausgedrückt ist. Es
ist nur das Vorzeichen der Lichtstufe umzukehren, weil
eigentlich die Hohlkugel angehalten wird.
Die Verwertung dieser Thatsache für das Schattieren
gezeichneter Körper mit Hilfe der gezeichneten
Normalkugel geht von ihrer Begründung aus. Raum
kugelpunkt und Raumflächenpunkt sind gleich hell, weil
die Berührungsebenen der Kugel und der andern Fläche
in diesem Punkt parallel sind. Ein durch die Zeich
nung gegebener Flächenpunkt wird mit einem
durch die Zeichnung gegebenen Normalkugel
punkt gleich hell sein, wenn die Berührungs
ebenen in beiden Punkten gleich gerichtet sind.
Dies ist der Grundgedanke der Verwertung der Normal
kugel zum Schattieren anderer Körper.
Wenn die Frage gestellt ist: „Welche Lichtstufe hat
ein gegebener Punkt einer Fläche?“ so ist in diesem Punkt
eine Berührungsebene an die Fläche und an die Normal
kugel eine parallele Berührungsebene zu legen'; der Be
rührungspunkt dieser letzten hat dieselbe Lichtstufe wie
der gegebene Punkt.
Damit ist nun das Beleuchtungsproblem wohl für
einen ebenbegrenzten Körper, bei welchem ein Punkt
für die Beleuchtung seiner ganzen Ebene massgebend ist,
noch nicht aber für gekrümmte Flächen gelöst. Was wäre
•erreicht, wenn auf einer solchen Fläche noch so viele
Punkte mit allerlei durch unganze Zahlen ausgedrückten
Lichtstufen, z. B. + 3,25 + 0,62 — 2,85 u. s, w., gefunden
wären? Offenbar könnte dajnit die Fläche noch nicht mit
zusammenhängenden und sich abstufenden Maltönen oder
Strichlagen schattiert werden. Fs bedarf vielmehr auf
allen andern gekrümmten Flächen ähnlicher Lichtstufen
linien für die Punkte mit ganzen Zahlen, wie sie auf
der Kugel durch die 9 Parallelkreise dargestellt sind; erst
mit der Bestimmung dieser Lichtstufen l i n i e n ist das Be
leuchtungsproblem für eine Fläche gelöst, und mit Hilfe
jener zufälligen Punkte wären die Linien nur durch eine
unsichere Schätzung zu erhalten. Fs wird also für jede
Flächengattung eines bestimmten Verfahrens bedürfen,
auf geeigneten Linien der Fläche die Punkte mit ganz
zahligen Beleuchtungsstufen aufzuflnden. Wenn hie-
nach eine Gruppe zusammengehöriger ganzzahliger Licht-
stpfenpunkte, z. B. + 3, auf der Fläche vorhanden ist und
diese Punkte durch eine -stetige Kurve zusammengefasst
werden, so bildet diese eine „Linie gleicher Helle“ oder
„Lichtstufenlinie“' + 3, wie sie auf der Kugel durch den
Parallelkreis 4- 3 dargeboten ist, und nach Beschaffung
aller solcher Kurven wird die Fläche in ähnlicher Weise
durch sie gegliedert wie die Normalkugel durch die 9 Par
allelkreise. Bei den andern Flächen erscheinen jedoch
diese Linien meist nicht mehr so einfach, sondern zu
weilen mit barocken Windungen und sogar plötzlichen
Richtungsänderungen auch bei stetigen Umrissen der Kör
per. Man nennt diese Linien anderwärts auch „Hellen
linien“ oder mit gelehrterem Ausdruck „Isophoten“; hier
soll der Ausdruck „Lichtstufenlinien“ ausschliesslich ge
braucht werden.
Im folgenden ist zunächst die Verwertung der Normal
kugel für eben begrenzte Körper, dann die Bestimmung der
Lichtstufenlinien auf allen der praktischen Verwendung
näherliegenden gekrümmten Flächen gezeigt und zum
Schluss das Beleuchtungsproblem allgemein, für alle Arten
von Flächen behandelt. Doch bedarf es zuvor noch einer
nicht unwichtigen Betrachtung.
Lichtstufen am Aeussern und im Innern hohl- 1)0.
gedachter Körper.
Zu der Berührungsebene in einem bestimmten Punkt
einer gekrümmten Fläche lassen sich immer zwei par
allele Berührungsebenen an die Normalkugel legen. Man