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Kapitel XII. Artikel 107. 
ist der Punkt ein Lichtstufenpunkt der Fläche, weil er der 
Endpunkt der grossen Achse der Projektion des Berührungs 
kreises zwischen Fläche und Kugel sein muss, also im 
Raum auf diesem Kreis selber liegt. Hieraus folgt eine 
einfache Kon 
struktion der 
End - Punkte 
der im Flä 
chen - Bild 
sichtbaren Lichtstufenlinien. Man 
zieht in den hervorgehobenen 
Berührungspunkten auf dem 
Normalkugelbild Tangenten an 
seinem Umriss, dann parallele 
Tangenten am Flächenumriss; 
die Berührungspunkte dieser 
letzten sind dieBerührungspunkte 
zwischen dem Flächenumriss 
und den Lichtstufenlinien. Die 
Konstruktion gilt in gleicher 
Weise für Aufriss und Grundriss. 
Im Grundriss giebt der Radius 
nach dem Berührungspunkt + 2 
auf dem äusseren Umriss zugleich 
den Berührungspunkt — 2 auf 
dem inneren u. s. w. Für den 
Grundriss würde sich dieselbe 
Konstruktion aus der Vorstellung 
zweier vertikaler Berührungs- 
cylinder der Fläche ableiten 
lassen. 
Wie bei dem ringförmig steigenden Tonnengewölbe 
in Figur 106 b und in derselben Thatsache begründet wie 
dort erscheinen im Grundriss der Röhrenfläche zwei Licht 
stufenlinien mit Kreuzungspunkten, nämlich c a + 0,39 und 
Figur 107 c. 
+ 3,65; sie sind in Figur 107b punktiert eingetragen. Hier 
finden sich jedoch diese Punkte einfacher; sie sind die 
höchsten Punkte derjenigen Normalschnittkreise, deren 
horizontale Durchmesser .im Grundriss senkrecht zur Licht 
strahlprojektion stehen. Dies folgt aus der Betrachtung 
der Lagen, welche im Grundriss der beweglichen Nor 
malkugel die Schnittellipse gegenüber den Lichtstufen 
linien annehmen kann. Auf der rechten oder vorderen 
Hälfte der Röhrenfläche hat sich in der angegebenen 
Lage die Schnittellipse am meisten vom hellsten Punkt 
entfernt; sie berührt hiebei auf dem Lichtstrahldurch 
messer die Kurve c a + 0,39 von aussen; in allen früheren 
und späteren Lagen schneidet sie diese Kurve zweimal. 
Auf der linken oder hinteren Hälfte hat sich in der an 
gegebenen Lage die Schnittellipse dem hellsten Punkt 
am meisten genähert; sie berührt dann auf dem Licht 
strahldurchmesser die Kurve c a + 3,65 von innen. 
In den zwei tiefsten Punkten derselben Normalschnitt 
kreise finden sich zwei weitere Kreuzungspunkte, und 
zwar für die Kurven ca— 0,39 und —3,65. Der letzte 
ist im Aufriss sichtbar und mit — 3,65 k‘ bezeichnet; 
ebenso ist dort der Kreuzungspunkt + 0,39 k‘ eingetragen. 
Tritt an die Stelle der Schraubenlinie der be 
trachteten Röhre eine beliebige andere Kurve, so 
erscheint der allgemeine Fall der Röhre mit kreis 
förmigem Normalschnitt. Auch 
dieser Fall kann immer als Um 
hüllungsfläche aller Lagen einer 
beweglichen unveränderlichen 
Kugel aufgefasst werden, deren 
Mittelpunkt auf der Kurve fort 
schreitet. Als Beispiel mit ge 
wundener Kurve des Fortschrei- 
tens ausser der Schraubenlinie 
wurde schon in Art. 71 der 
Rundstab eines Bogengesimses 
auf cylindrischer Wandfläche ge 
nannt; weit häufiger ist die 
Verwirklichung der Fläche mit 
ebenen Kurven als Röhren- 
achsen. 
Zur Bestimmung der Licht 
stufenlinien führt am raschesten 
die oben bei der Schraubenröhre 
durchgeführte Betrachtung des 
Normalschnittkreises als der Be 
rührungslinie der rückenden 
Kugel und die Bestimmung der 
Lichtstufenpunkte auf diesem 
Kreis der Kugel. An die be 
liebig gekrümmte Achse der 
Röhre sei in einem bestimmten 
Punkt pp‘ eine Tangente ab a‘ b‘ 
gezogen worden. Man hat dann 
auf der Umhüllungskugel in pp‘ den Kreis zu zeichnen, 
dessen Ebene normal zu dieser Tangente steht. Diese 
Aufgabe nst in Art. 71 gelöst; auch kann für den vor 
liegenden Fäll die dort gezeichnete Figur 71 e unverändert