Kapitel XII. Artikel iio, in.
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die liegende Kathete vom rechtwinkligen Eckpunkt aus
einteilen, so ist auch die Erzeugende im Grundriss vom
Mittelpunkt aus durch die Lichtstufenpunkte einzuteilen.
Die Durchführung des Verfahrens für eine genügende Zahl
von Erzeugenden liefert wie in den früheren Lösungen
eine genügende Zahl von Punkten für jede Lichtstufen
linie. Hiebei ist Gebrauch gemacht von der Thatsache,
dass für jeden beliebigen Höhenabschnitt einer vertikal
stehenden Wendelfläche die Grundrissbogenlängen der
auf ihr liegenden Schraubenlinien deren Radien proportional
sind. Jene geneigten Parallelen samt der zuerst gezeichneten
Hypotenuse können unmittelbar als die Abwicklungen der
Schraubenlinien der für die ausgewählte Erzeugende vor
gestellten Hilfswendelfläche aufgefasst werden, ebenso die
Horizontalabschnitte als Verstreckungen der zugehörigen
Grundrissbogenlängen.
Die Lösung hat sich verhältnismässig einfach gestaltet,
weil es möglich war, jede Lage der Erzeugenden als Be
standteil der einfach zu schattierenden senkrecht stehenden
Wendelfläche zu betrachten. Beim allgemeinen Fall des
Konoids, wofür etwa das Kugelkonoid mit schrägstehen
der Geraden als Leitlinie und mit Gleiten der Erzeugenden
an einer Kugel anstatt des Kreises in Figur 29b ein inter
essantes Beispiel wäre, fällt diese Erleichterung weg. Auch
nicht als Schraubenfläche darf ein Stück der Fläche zwi
schen zwei einander naheliegenden Erzeugenden betrachtet
werden, da die Winkel mit der festen Geraden sich ändern.
Die Auffassung als Bestandteil eines windschiefen Vierecks
(hyperbolischen Paraboloids) wäre berechtigt, führt aber
zu keiner direkten Lösung. Daher dürfte wie bei der
schiefen Kegeldäche nur eine Lösung mit punktweise kon
struierten geometrischen Orten möglich sein, wie sie im
folgenden in den Grundzügen gegeben ist.
Wie im zuerst betrachteten einfachen Fall und wie bei
allen Regelflächen überhaupt besteht die Thatsache, dass
die Lichtstufenpunkte für jede der Erzeugenden E auf
einem Meridian ME der Normalkugel zu suchen sind,
dessen Ebene normal steht zur Erzeugenden, also hier
vertikal steht. Wenn noch für einen Punkt der Erzeugen
den die Neigung der Tangente N an der Schnittlinie der
Fläche mit der zur Erzeugenden normalen Ebene be
kannt ist, so kann für diesen Punkt der zugehörige Normal
kugelpunkt angegeben werden; es ist derjenige Punkt des
Meridians ME, in welchem die Meridiantangente dieselbe
Neigung hat wie die Tangente N.
Ein beliebiger Vertikalschnitt V der Fläche, der senk
recht zum Grundschnitt gerichtet sein mag, kann für jeden
Punkt, in dem er eine Erzeugende E schneidet, diese
Neigung liefern. Man zeichnet die Schnittkurve des Vertikal
schnitts V und in jedem Punkt, in welchem er eine der
ausgewählten Erzeugenden E schneidet, die Tangente S
an der Vertikalschnittkurve. Diese Tangente S hat man
rechtwinklig auf die zur Erzeugenden E normale Ebene
zu projizieren, um in dieser die Normaltangente N zu
erhalten.
Hienach lässt sich für jeden Schnittpunkt der Vertikal
schnittkurve V mit einer Erzeugenden E der entsprechende
Punkt P der Normalkugel bestimmen. Verbindet man auf
der Normalkugel alle zu einem Vertikalschnitt /'gehörigen
Punkte P durch eine Kurve, so ist diese der geometrische
Ort der Lichtstufenpunkte für eine Vertikalschnittkurve V.
Diese Raumkurve auf der Kugel schneide z. B. den Licht
stufenkreis + 3 in einem bestimmten Punkt. Durch diesen
Punkt legt man einen Vertikalschnitt der Normalkugel
parallel zum Vertikalschnitt V, zieht an den Schnittkreis
eine Tangente im Punkt + 3 und dazu eine parallele Tan
gente an die Vertikalschnittkurve V. Der Berührungs
punkt auf dieser letzten ist der Lichtstufenpunkt -f 3 auf
der Fläche.
Eine zweite Lösung, bei welcher der geometrische ()rt
nicht auf der Normalkugel, sondern auf der Fläche selber
sich bildet, ist die folgende. Der zu einer Erzeugenden E
gehörige vertikalstehende Kugelmeridian M schneide die
Lichtstufenlinie + 3 in einem Punkt R. Durch R legt man
einen vertikalen Parallelkreis, dessen Ebene denjenigen
der Vertikalschnitte V\ V% Vs . . . der Fläche parallel ist,
also nach der für diese getroffenen Wahl auch senkrecht
zum Grundschnitt steht. In R zieht man eine Tangente
an den Parallelkreis, dann an die getrennt herausgetragenen
Schnittkurven V\ Vz Vs . . . parallele Tangenten. Die Be
rührungspunkte dieser letzten überträgt man in den Grund
riss oder Aufriss und verbindet sie durch eine stätige
Kurve. Wo diese die Erzeugende E schneidet, da ist der
Lichtstufenpunkt + 3 auf dieser. Selbstverständlich wird
man die parallelen Tangenten nur an etwa vier Vertikal
schnittkurven V ziehen, bei denen die Berührungspunkte
in die Nähe der Schnittpunkte der Kurven mit der Er
zeugenden fallen. Da diese Schnittpunkte zum Heraus
tragen der Kurven V dienen, also von Anfang auf ihnen
vorhanden sind, so ist die Auswahl der vier Kurven leicht
zu treffen (eine dritte Lösung s. Art. in am Schluss).
Lichtstufen auf beliebig gekrümmten Flächen, 111.
erstes Verfahren: mit geometrischen Orten
auf der Normalkugel.
Bei allen bisher beschriebenen gekrümmten Flächen
ist das Verfahren zur Bestimmung der Lichtstufenlinien
einem bestimmten Erzeugungsgesetz angepasst worden.
Andere Flächen als die betrachteten dürften zwar selten
mit Lichtstufen zu schattieren sein; doch ist vom rein
wissenschaftlichen Standpunkt aus die Aufgabe der Be
leuchtungskunde mit solcher Einzelkonstruktion noch nicht
gelöst. Sie ist es offenbar erst dann, wenn alle Flächen
in derselben Weise schattiert werden können wie die
bisher betrachteten, das heisst wenn ein allgemein gültiges
Verfahren für alle gekrümmten Flächen gefunden ist,
ähnlich wie es für die Bestimmung der Schattengrenzen
in Art. 28 vorliegt. Den im Früheren betrachteten Lö
sungen muss ein gemeinschaftlicher Grundgedanke zu
eigen sein, dessen Durchführung sich in ihnen verhältnis
mässig einfach gestaltet hat, weil das Erzeugungsgesetz
der Flächen ein einfaches war oder eine günstige Ver
wandtschaft mit dem der Kugel darbot. Diesen Grund
gedanken auszuziehen und seine Verwertung ohne Ein
gehen auf ein bestimmtes Erzeugungsgesetz zu zeigen,
ist im vorliegenden Artikel versucht.
