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Kapitel XII. Artikel n>.
Für alle Horizontalschnitte des geraden vertikalen
Kreiskegels und Cylinders war derselbe horizon
tale Kugelkreis der geometrische Ort, so dass nur ein
solcher Schnitt nötig war; für die Drehungsflächen
erschienen verschiedene Parallel kreise für verschiedene
Parallelschnitte der Fläche; in beiden Fällen ersetzten sich
die parallelen Tangenten der allgemeinen Lösung durch
parallele Radien oder durch die Proportionalteilungen der
geradlinigen Parallelkreisprojektionen, in denen ja doch
immer das Gleichgerichtetsein der Tangenten vorgestellt
wird. Bei schiefgerichteten geraden Kreiskegel- und
Drehungsflächen liegt dieselbe Vereinfachung derjenigen
Gestalt der allgemeinen Lösung vor, bei welcher schon
die erste Schnittebenengruppe schiefgerichtet ist.
Für die schiefen Cylinderflächen beliebigen
Normalschnitts gilt dasselbe, wogegen schon die
Kegelfläche mit beliebiger Basis die allgemeine
Lösung nur mit ganz unwesentlicher Vereinfachung er
fordert, indem nur die Mantellinien an die Stelle der ge
neigten Kurventangenten der allgemeinen Lösung treten.
Die Röhren flächen beider Arten bringen zwar
wieder sehr einfache geometrische Orte auf der Kugel
mit sich, erfordern jedoch andererseits eine erweiterte Auf
fassung der allgemeinen Lösung, indem hier schon für die
erste Schnittebenengruppe das Gleichgerichtetsein aufge
geben ist.
Bei den Rtickungsflächen erscheinen wieder die
Parallelschnitte der allgemeinen Lösung. Ist die Erzeu
gende unveränderlich, so sind die geometrischen Orte auf
der Kugel Grosskreise verschiedener Richtung und die
Lösung gestaltet sich einfach. Bei veränderlichen und
drehenden Erzeugenden fallen die Vereinfachungen weg
und die allgemeine Lösung tritt ganz oder nahezu unver
ändert auf.
Bei den Schraubenflächen sind die parallelen
Schnittebenen durch konzentrische Schnittcylinder ersetzt,
weil hiedurch abermals ein einfacher geometrischer Kugel
ort erzielt wird; bei diesen Flächen ist also die allgemeine
Lösung abermals in einer früher nicht ausgesprochenen
Richtung erweitert aufzufassen. Das Gleicfmerichtetsein
der Horizontaltangenten ist hier zwar vorhanden, aber
nicht unmittelbar herbeigeführt, sondern auf dem Umweg
einer Verdrehung um den Winkel zwischen Gefällslinie
und Radius erzielt, so dass diese Lösung eine eigenartige
Verbindung von Erweiterung und Vereinfachung des all-
gemeinen Verfahrens darstellt.
b) Auf den meisten gegebenen Flächen werden sich
bestimmte Hauptlinien finden, für welche sich die
Lichtstufenpunkte einfacher und mit grösserer Sicherheit
bestimmen lassen, als nach den allgemeinen oder sonst
anzuwendenden Verfahren. Schon bei der schrauben
förmigen Wulstfläche war diese Thatsache festzustellen;
ihre Lichtstufenpunkte auf der äussersten und innersten
Schraubenlinie ergeben sich durch Betrachtung der zwei
berührenden Vertikal cylinder unabhängig von der Kon
struktion mit den Umhüllungskugeln. Auf demselben Weg
können auf dem dreiachsigen Ellipsoid und elliptischen
Hyperboloid die Lichtstufenpunkte auf denjenigen drei
Schnittkurven, deren Ebenen je durch zwei Achsen gelegt
i sind, unabhängig von der früher erklärten Konstruktion
und mit grösserer Sicherheit erhalten werden.
Bei dem für die allgemeinen Lösungen als erstes
Beispiel gewählten exzentrischen Wulst ergeben sich leicht
vier Hauptlinien, nämlich der zur Vertikalebene parallele
äussere Umrisskreis der gleichgerichtete innere Umriss
kreis c und die beiden Schnittkreise in der Ebene sbc.
Die beiden ersten liefern sichere Endpunkte und Be
rührungspunkte der Lichtstufenlinien da, wo Kreiscylinder
senkrecht zur Vertikalebene ihre Lichtstufenpunkte hätten,
nur sind beim kleinen Kreis die Vorzeichen umzukehren.
Die beiden letzten sind Berührungslinien von vertikalen
Kreiscylindern mit der Fläche und zeigen also je eine
Reihe von Lichtstufenpunkten proportional derjenigen auf
dem horizontalen Durchmesser im Aufriss der Normal
kugel. Bei der Volutenkonsole ist die vertikalstehende
Achsenschnittkurve eine leicht zu verwertende Hauptlinie,
ebenso die obere Umrisskurve.
Der grössere Vorzug dieser Hauptlinien liegt in der
grösseren Sicherheit, mit der ihre Punkte bestimmt
werden können. Als Berührungslinien von Cylinderflächen
mit den gegebenen Flächen sind sie nichts anderes als
besondere Fälle der Berührungskurven, die in der zweiten
allgemeinen Lösung auftreten. Es ist einleuchtend, dass
für alle Umrisse, welche durch Auswölbung ge
bildet sind, dasselbe gilt, wie für den exzentrischen
Wulst; die Tangente im Endpunkt und Berührungspunkt
einer beliebigen Lichtstufenlinie + 3 an der Umrisslinie
irgend einer solchen Fläche muss parallel sein der Tan
gente am gleichnamigen Punkt + 3 am Umriss der Nor
malkugel. Dies gilt ausdrücklich auch dann, wenn die
Umrisskurve im Raum, das heisst die Berührungslinie des
von den Projektionsloten gebildeten Cylinders mit der
Fläche, eine schief liegende oder gewundene ist. Diese
Thatsache ist als für die meisten Flächen sehr wichtig
hervorzuheben. Unter anderem können die Endpunkte
der Lichtstufenlinien am Umriss des gewundenen Säulen
schaftes (Figur 109 a) in dieser Weise genau bestimmt
werden, ebenso im Aufriss der Wulströhre Figur 107c,
endlich in den Figuren 106 b und md.
c) Auf den meisten gegebenen Flächen werden sich
gleich anfangs durch Ueberlegung oder Konstruktion be
stimmte Linien feststellen lassen, welche von ganzzahligen
Lichtstufenlinien nicht berührt oder durchschnitten werden
können. Solche Scheidelinien der Lichtstufen
gruppe, welche einen Einblick in deren Verlauf früh
zeitig eröffnen, haben sich schon bei den Drehungsflächen
in Art. 94, Satz c) und Art. 95, Satz d) als nur gedachte
Parallelkreise und zugleich Lichtstufenlinien + 1,7 oder
— 1,7 gefunden. Bei dem rechtwinkligen Konoid in
Art. 110 und Figur 77 a und b sind die zwei horizontalen
Fusslinien und die Scheitellinie solche Scheidelinien, und
zwar geradlinige, während die übrigen Lichtstufenlinien
gekrümmte sind, ebenso beim Kugelkonoid in Art. in die
oberste und unterste Erzeugende.
Für beide allgemeine Verfahren ist als wichtige That
sache hervorzuheben, dass jede Schnittkurve der ersten
oder zweiten Gruppe, oder jede einer Trajektorie ent
sprechende Flächenkurve, oder endlich jede Berührungs-