Kapitel 111. Artikel 19, 20, 21. 
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11). Die Umkehrung der in Avt. 18 erklärten all 
gemeinen L ö s u n g. 
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Alle Lösungen, die bisher für Schatten auf ebenen 
Figuren und Körpern mit ebenen Flächen gezeigt wur 
den, lassen sich auch in der Weise durchführen, dass S 
zum Schneiden des beschatteten Gebildes nicht die ver 
tikale Ebene des Lichtstrahls gewählt wird, sondern die ; 
unter 45 0 geneigte, die ihn auf die vertikale Grundebene 
projiziert (die sogenannte vertikalprojizierende Ebene). 
Man erhält dann die Schnittpolygone im Grundriss anstatt 
im Aufriss, und der Schattenpunkt erscheint zuerst im 
Grundriss. Diese Lösung ist nichts anderes als eine Um 
kehrung des allgemeinen Verfahrens mit Vertauschung von 
Horizontal- und Vertikalprojektion; sie ist etwa vorzu 
ziehen, wenn man die Schatten nur im Grundriss braucht. 
Da jedoch weitaus in den meisten Fällen die Benützung 
der vertikalen Schnittebenen näher liegt, so mag die Lö 
sung mit diesen auch fernerhin # als die „allgemeine“ für 
Schatten auf Polyedern bezeichnet werden. 
Noch eine zweite Abänderung der allgemeinen Lösung 
erscheint in der Benützung der später zu erklärenden 
Seitenprojektion anstatt des Grundplans und der seitlich 
projizierenden Ebenen der Lichtstrahlen anstatt der verti 
kalen. Diese Lösung wird beizuziehen sein, wenn etwa 
das zu schattierende Gebilde nur durch Aufriss und Seiten-, 
Projektion gegeben ist, so dass die allgemeine Lösung 
das Zeichnen eines Grundplans erfordern würde. Ein 
weiterer Fall ist geboten bei prismatischen und cylindri- 
schen Körpern parallel zum Grundschnitt, worüber auf 
Kap. IV zu verweisen ist. 
20. Schlagschatten eines Körpers mit gekrümmter 
Oberfläche auf einem Vielflach. 
Man bestimmt in später zu erklärender Weise die 
Kurve, welche auf dem schattenwerfenden Körper die 
Grenze von Lichtfläche und Körperschattenfläche dar 
stellt. Der nach Art. 17 zu konstruierende Schlagschatten 
dieser Kurve auf dem Vielflach ist zugleich die Grenze 
des Schlagschattens, den der Körper auf das Vielflach 
wirft. 
21. Hilfssätze für die Schatten auf Körpern mit ebenen 
Flächen. 
Beim Aufsuchen der Schattengrenzen auf Polyedern 
(und zum Teil auch andern Körpern) gelangen fort- 
/ . 
während folgende Sätze zur Verwertung, indem sie ent 
weder als Konstruktionsmittel dienen oder Proben liefern. 
Eines Beweises bedürfen sie nicht. 
a) Was im Schatten ist, kann keinen Schat 
ten werfen, in keiner Schattengrenze kann ein Punkt 
oder eine Kante als schattenwerfend auftreten, der oder 
die ringsum von Körperschaften oder Schlagschatten um 
geben ist. 
b) Punkte und Kanten, die ringsum von Lichtflächen 
umgeben sind, können ebenfalls keine Schatten werfen. 
Nur die Grenzlinien zwischen Licht- und Körper 
schaften erscheinen als schattenwerfend in den Schlag 
schattengrenzen . 
c) Der Schatten einer geraden (oder ge 
krümmten) Linie auf einer Ebene (oder anderen 
Fläche) beginnt da, wo die Linie mitder Fläche 
zusammen trifft. Dieser selbstverständliche Satz bietet 
willkommene Proben besonders dann, wenn der Schnitt 
punkt nicht unmittelbar am Gebilde vorliegt, sondern 
Linie und Fläche räumlich getrennt liegen, in welchem 
Fall das Gerichtetsein der Linie nach dem Schnittpunkt 
nicht unmittelbar aus dem Bild herausgefühlt wird. 
So läuft z. B. in Figur 18c der Schatten der Kante 
cd auf tlf Vertikalebene, x‘y‘ nach dem Punkte m\ der 
den Schnittpunkt dieser Kante mit der Vertikalebene dar 
stellt; ebenso läuft v‘ y‘ nach n‘, dem Schnittpunkt von 
e‘ d‘ mit der Vertikalebene. Am Körper selbst läuft z‘ w' 
nach p‘ und s 1 u‘ nach r\ dem Schnittpunkt der Kante a‘ b‘ 
mit der langseitigen Dachfläche. Für den Schatten des 
Kamins auf der Dachfläche bestimmt sich leicht o o‘ als 
Schnittpunkt der Kante gh mit der Dachfläche; nach diesem 
Punkt muss in Grundriss und Aufriss der Schatten dieser 
Kante tl laufen. 
d) Der Schatten einer Geraden auf jeder ihr 
parallelen Ebene ist eine Parallellinie. So ist 
z. B. in Figur 18 c der Schatten der Giebelkante a‘ b‘ auf 
der Langwand dieser Kante parallel; die linke geneigte 
Kante der Nische in der Giebelwand hat auf der ver 
tikalen Rückwand der Nische einen parallelen Schatten 
und ebenso die rechte Giebelkante der langseitigen Dach 
fläche auf der ersten Chor-Dachfläche einen parallelen 
Schatten in Grundriss und Aufriss. 
e) Die Schattenstücke einer Geraden auf zwei ver 
schiedenen Ebenen treffen sich auf der Schnittlinie dieser 
Ebenen. Auch dieser Satz, selbstverständlich wenn die 
Ebenen am Gebilde selbst sich schneiden, liefert oft will 
kommene, nicht sofort in die Augen springende Proben, 
wenn die Ebenen räumlich getrennt liegen. In Figur 18c 
ist z. B. f q‘ die Schnittlinie der vertikalen Langwand mit 
der langseitigen ' Dachfläche. Die Giebelkante a‘ b‘ wirft 
getrennte Schattenstücke auf diese beiden Ebenen. Das 
jenige auf der vertikalen Wand muss verlängert nach q‘ 
als dem Schnittpunkt von f‘ q‘ und .v' u‘ laufen. 
f) Wenn der Schatten einer Geraden am Rand einer 
Ebene aufhört, um auf einer anderen getrennt liegenden 
Ebene sich fortzusetzen, so liegen die Endpunkte beider 
Schattenstücke auf einem Lichtstrahl. Das heisst sie liegen 
in beiden Projektionen auf einer Linie von 45 0 Neigung. 
So liegen z. B. in Figur 18 a die Punkte / und />, in 
Figur 18b die Punkte^' und //', ferner i‘ und /' auf einem 
Lichtstrahl, und besonders häufig findet sich die genannte 
Probe in Figur 18 c, wofür mehrere Linien eingezeichnet sind. 
g) Der Schatten einer senkrecht zur Vertikalebene 
gerichteten Geraden auf einem Vielflach (und auf jedem 
anderen Körper) fällt im Aufriss mit der Lichtstrahl 
projektion zusammen, ist also immer eine gerade Linie 
von 45° Neigung. 
Ebenso fällt der Schatten einer Vertikallinie auf jedem 
Körper im Grundriss mit der Lichtstrahlprojektion zu 
sammen.