Kapitel V. Artikel 28, 29. 
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Konstruktion, als das Wissen von den Verfahren, mit 
deren Hilfe man die Schattengrenzen finden kann. Dies 
zur Ermutigung, wenn sich in der Folge zeigen sollte, 
dass das Konstruieren der Schattengrenzen auf vielen 
gekrümmten Flächen unverhältnismässig viel Arbeit er 
fordert. 
28. Allgemeine Lösung für Schatten auf gekrümm- 
ten Flächen. 
Die Schatten auf gekrümmten Flächen sind wieder 
entweder Körperschaften oder Schlagschatten, ge 
worfen von aussenstehenden Gebilden oder von Teilen 
des beschatteten Körpers selber. 
Denkt man sich den Körper mit gekrümmter Ober 
fläche zunächst konvex, so wird eine Seite der Ober 
fläche von den Lichtstrahlen getroffen, die andere nicht. 
Zwischen beiden Flächenteilen muss eine Grenze be 
stehen, eben die Körp er schattengrenze. Sie erscheint 
— wie schon früher ausgesprochen — bei runden Kör 
pern dem Auge sehr verschwommen, indem der Ueber- 
gang von Licht zu Schatten durch zahllose feine Zwischen 
stufen vor sich geht, ist aber mathemathisch betrachtet 
doch eine scharfe Linie. Sie bildet sich, wie leicht ein 
zusehen — da, wo die Lichtstrahlen berührend am 
Körper vorbeistreifen; die Berührungspunkte sind eben 
die Punkte der Körperschattengrenze. Hierauf gründet 
sich die folgende Konstruktion dieser letzten: 
Man schneidet den Körper durch eine Anzahl von 
Vertikalebenen, die zur Lichtrichtung parallel stehen, also 
Lichtstrahlen enthalten und im Grundriss mit deren 
geradlinigen Projektionen zusammenfallen. Man sucht die 
gekrümmten Schnittlinien dieser Ebenen mit dem Körper 
in der Vertikalprojektion auf. Man zieht im Aufriss tan 
gierende Lichtstrahlen an diese Schnittlinien, bestimmt 
die Berührungspunkte und verbindet sie durch eine ste 
tige Kurve. Diese ist die Körperschattengrenze. 
Ist der Schlagschatten eines äusseren Punktes auf 
einer gekrümmten Fläche zu suchen, so zieht man einen 
Lichtstrahl durch den Punkt, betrachtet die vertikale 
Ebene dieses Lichtstrahls und sucht die gekrümmte 
Schnittlinie dieser Ebene mit dem Körper im Aufriss auf. 
Wo der Aufriss des Lichtstrahls diese Kurve schneidet, 
da ist der Schlagschatten des Punktes. Diese Lösung ist 
nichts anderes als die Uebertragung der früher für Poly 
eder vorgeführten Konstruktion auf die runden Körper. 
Das Aufsuchen der gekrümmten Schnittlinien im Auf 
riss gestaltet sich verschieden je nach der Art der be 
schatteten Fläche und ist nur durch Wahl bestimmter 
Arten von Flächen zu erklären. 
21). Anwendung auf Regel fl ä c h e n. 
Ist die beschattete Fläche eine Regel fläche (das 
heisst durch irgend eine Bewegung einer geraden Linie 
erzeugt), so hat man nur die erzeugende Gerade in einer 
genügenden Zahl ihrer Lagen zu zeichnen und die Schnitt- 
- punkte jeder Schnittebene mit jeder Geraden aus dem 
Grundriss in den Aufriss hinaufzuloten. Sind in Fig. 29 a 
in den Geraden r j 3 4 vier Lagen der erzeugenden Ge 
raden gezeichnet, so hat der im Grundriss gezeichnete 
Lichtstrahl die vier Schnittpunkte ab c d; deren Hinauf 
loten in den Aufriss. nach a' b‘ c‘ d‘ ergiebt die Schnitt 
kurve der Fläche mit der Lichtstrahlenebene; der Be 
rührungspunkt k‘ des als Tangente im Aufriss gezogenen 
Lichtstrahls ist ein Punkt der Körperschattengrenze im 
Aufriss; sein Hinunterloten auf den Lichtstrahlgrundriss 
nach k giebt den entsprechenden Punkt der Körper 
schattengrenze im Grundriss. Wirft ein äusserer Punkt 
aa‘ seinen Schatten auf die Fläche, so liefert nach Kon 
struktion der Schnittkurve der im Aufriss durch a‘ ge 
zogene Lichtstrahl den Schlagschattenpunkt .9' und dessen 
Hinunterloten auf den Lichtstrahlgrundriss den zugehöri 
gen Grundrissschlagschattenpunkt .9. 
In Figur 29b ist als durchgeführtes Beispiel ein 
Konoid gezeichnet, das erzeugt ist durch Gleiten einer 
immer horizontal bleibenden Geraden einerseits an einer 
geneigten, in der Vertikalebene liegenden Geraden, an 
dererseits an einem Halbkreis, dessen Ebene normal zum 
Grundschnitt steht und dessen Durchmesser ebenfalls in 
der Vertikalebene liegt. Die Fläche hat einen Selbst 
schatten und ist von aussen durch eine hängende Pyra 
mide beschattet. Die Konstruktion erklärt sich durch die 
eingezeichneten Lichtstrahlen und Schnittkurven. Die Ent 
fernungen der ersten im Grundriss wurden gleich gross 
angenommen; dies musste zur Folge haben, dass auch 
im Aufriss alle Mantellinien der Fläche durch die Schnitt 
kurven in gleiche Teile geteilt wurden. Waren also zwei 
entfernte dieser Kurven durch Hinaufloten aus dem Grund 
riss abgeleitet, so mussten nur die zwischenliegenden 
Mantellinienstücke in gleiche Teile eingeteilt werden, um 
die Punkte der zwischenliegenden Schnittkurven zu er 
halten.