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Kapitel V. Artikel 33, 34, 35, 36. 
Teil der Oberfläche weggebrochen wird, kann im Innern 
neben dem Schlagschatten auch Lichtfläche erscheinen. 
Sie ist von jenem durch eine Grenzlinie geschieden, die 
für das Aeussere keine Bedeutung hat, wie auch am 
Aeussern Schlagschattengrenzlinien auftreten können, die 
für das Innere nichts bedeuten (z. B. Figuren 69 b und 69 c). 
33. Schlagschatten eines Körpers mit gekrümmter 
Oberfläche auf einem andern solchen Körper. 
Das Problem zerfällt in zwei Teile. Zuerst ist nach 
dem schon erklärten Verfahren auf dem schatten werfen 
den Körper die Selbstschattengrenze zu suchen; denn 
diese wirft als Schlagschatten die Grenzlinie zwischen 
Licht und Schlagschatten auf dem beschatteten Körper. Um 
diese letztere zu linden, hat man für eine genügende Zahl 
von Punkten jener Selbstschattengrenze nach dem ebenfalls 
oben erklärten Verfahren die Schlagschattenpunkte auf dem 
beschatteten Körper zu suchen und stetig zu verbinden. 
Im allgemeinen wird man dieselben Lichtstrahlen zur 
Bestimmung beider Grenzlinien benützen; das heisst, man 
wird jede der angenommenen vertikalen Schnittebenen 
durch beide Körper zugleich führen und dann die Tan 
gente an der Schnittkurve des schattenwerfenden Körpers 
verlängern bis zu der Schnittkurve des beschatteten. Hie 
durch liefert — wie bei der Selbstbeschattung der zwei 
ten in Art. 31 beschriebenen Art — jeder Lichtstrahl zu 
gleich einen Punkt der Selbstschattengrenze und einen 
der Schlagschattengrenze. Meist wird auch noch eine 
Selbstschattengrenze auf dem beschatteten Körper zu 
suchen sein, zu deren Bestimmung die vorher für die 
Schlagschattenpunkte benützten Schnittkurven ebenfalls 
dienen können. 
Figur 37 bietet eine solche Beschattung an zwei 
Drehungskörpern mit Achse parallel zum Grundschnitt, 
also an einem noch nicht behandelten Fall; doch kann 
das Beispiel alles hier Gesagte zur Anschauung bringen, 
wenn die Seitenprojektion als Grundriss mit geänderter 
Lichtstrahlrichtung aufgefasst wird. 
34. Folgerungen für den Verlauf der Schatten 
kurven (s. auch Art. 69 a am Schluss). 
Die Auffassung der Schattengrenzen als der Beriih- 
rungs- oder Schnittlinien zwischen der beschatteten Fläche 
und dem Lichtstrahlencylinder lehrt folgendes: 
a) Wo der Umriss eines Körpers mit gekrümmter 
Oberfläche gebildet ist durch die Reihe der Berührungs 
punkte der am Körper tangierenden Projektionslote, da 
müssen Körper- und Schlagschattengrenzkurven be 
rührend an diesem Umriss ankommen. Im allgemeinen 
gehen die Schattengrenzen an diesem Umriss von ihrem 
sichtbaren Teil zu einem unsichtbaren (zu punktierenden) 
über, so dass der Berührungspunkt die Grenze zwischen 
beiden Teilen bildet. Die Berührung ist aber oft eine 
solche mit äusserst kleinem Krümmungshalbmesser, so dass 
sie sich von einem Aneinanderstossen beider Linien un 
ter schiefem Winkel kaum unterscheidet. Auch kann der 
Fall eintreten, dass der unsichtbare Teil auf den sicht 
baren fällt, also der Krümmungshalbmesser an der Be 
rührungsstelle gleich Null wird, so dass wirklich ein Zu- 
sammenstossen beider Linien unter einem bestimmten 
Winkel erscheint (z. B. Umklappung in Figur 31c). 
b) Endpunkte einer Schlagschattengrenzlinie an deren 
Anstossen an einer Körperschattengrenzlinie sind häufig 
zugleich Berührungspunkte zwischen der Schlagschatten - 
grenze und einem Lichtstrahl, das heisst, die Schlag 
schattengrenze hat an ihrem Endpunkt eine Tangente 
von 45 0 Neigung. Dasselbe kann auch bei Eckbildungen 
der Schlagschattengrenze für den Eckpunkt zutreffen. 
Die Erscheinung findet sich da, wo die Schlagschatten 
grenze, als Schnitt des Lichtstrahlencylinders mit der ge 
krümmten Fläche aufgefasst und in dieser Eigenschaft 
fortgesetzt gedacht, über den letzten Lichtstrahl, den sie 
erreicht, nicht hinausgehen könnte, weil er die äusserste 
Mantellinie des Lichtstrahlencylinders bildet. 
c) Wo eine Schlagschattengrenze an einer Körper 
schattengrenze aufhört, findet sich meist eine von der 
selben schatten werfenden Linie herrührende Fortsetzung 
dazu auf einem anderen Körperteil oder auf einer Grund 
ebene. Die Endpunkte beider getrennten Schlagschatten 
stücke müssen auf einem Lichtstrahl, das heisst auf einer 
Linie von 45 0 Neigung liegen. 
Mängel der Lösung. 35. 
Die Berührungspunkte der an den Schnittkurven tan 
gierenden Lichtstrahlen müssen meist nach Schätzung be 
stimmt werden, wodurch oft eine Unsicherheit bis zu 
mehreren Millimetern für die Lage eines solchen Punktes 
und damit für die ganze Körperschattengrenze herein 
kommt. Diese Unsicherheit vergrössert sich durch ge 
ringe Ungenauigkeit in der Konstruktion der Kurven sehr 
bedeutend und kann bei schwach gekrümmten Flächen 
so gross werden, dass die Konstruktion fast wertlos ist. 
Bei solchen Flächen ist übrigens auch in der Wirklich 
keit die Schattierung eine solche mit breit verschwomme 
ner Grenze, die ein sicheres Einzeichnen der Linie auf 
dem Körper selbst nicht gestatten würde; geringe Fehler 
in der Hand- oder Maschinenarbeit der Ausführung, wie 
sie unvermeidlich sind, verändern die Schattengrenze un 
verhältnismässig stark und machen oft aus der gesetz- 
mässigen Grenzlinie, die erscheinen sollte, einen ungleich 
breiten, regellos verlaufenden und sogar zuweilen unter 
brochenen Streifen. 
Ohne tieferes Eingehen auf die Erzeugungsweise der 
zu schattierenden gekrümmten Fläche lässt sich dieser 
Mangel der Konstruktion nicht beheben. Für Drehungs 
flächen, besonders solche mit kreisbogenförmigen Meridian 
stücken , wird übrigens eine Konstruktion mit grösserer, 
beziehungsweise vollständiger Sicherheit später gezeigt 
werden (s. Art. 56 u. 57). 
Umkehrung der allgemeinen Lösung durch Be- 3(>. 
nützung der vertikal projizierenden Ebenen 
der Lichtstrahlen. 
Wie bei den eben begrenzten Körpern nach Art. 19, 
so kann auch bei den gekrümmten Flächen die allgemeine 
Lösung häufig derart umgekehrt werden, dass die vertikal-