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Kapitel V. Artikel 38. Kapitel VI. Artikel 39. 
Figur 31 c zeigt eine solche Umklappung der Pro 
jektion auf eine vertikale Lichtstrahlenebene in die hori 
zontale Grundebene, wogegen in Figur 38a eine Wulst- 
lläche in solcher Projektion als Vertikalprojektion ge 
zeichnet, mit andern Worten, die Vertikalgrundebene par 
allel zur Lichtrichtung angenommen ist. 
Diese schrägstehenden vertikalen Projektionen oder 
Umklappungen ersparen z. B. beim Schattieren von Kugel 
flächen —’ wie später auszuführen sein wird — das Zeich 
nen elliptischer Hilfslinien. In anderen Fällen gewähren 
sie oft einen besseren Einblick in den Verlauf und das 
Gesetz der Schattengrenzkurven, ins 
besondere in die Lage höchster oder 
tiefster oder anderer wichtiger Punkte, 
oder sie liefern erwünschte Proben, oder 
endlich sie führen zu einer schärferen 
Bestimmung der Kurven, wo etwa die 
anderen Projektionen durch spitzwinklige 
Durchschnitte oder ungünstige Häufung 
der Konstruktionslinien bemühen oder 
versagen. 
Bei Durchführung einer Schatten- ! 
konstruktion in einer solchen Projektion 
auf die schrägstehende vertikale Ebene 
eines Lichtstrahls ist zu beachten, dass 
der Neigungswinkel der Lichtstrahl 
projektion hier nicht ebenfalls gleich 
45 0 ist, sondern gleich der wirklichen Neigung des Licht 
strahls im Raum, welche erst aus den zwei ursprünglichen 
Projektionen abzuleiten ist. JVlan erhält diesen Neigungs- 
Figur 38 b. 
winkel, indem man (Figur 38 b) auf einem durch den Grund 
schnitt gezogenen Lichtstrahl einen Punkt X annimmt 
und das horizontalprojizierende Dreieck des Lichtstrahls 
c x X in die Horizontalebene umklappt. Hiebei beschreibt 
der Raumpunkt X einen Viertelskreis und legt sich nach 
x u , indem xx u = b x‘ wird; c x u ist die Umklappung des 
Lichtstrahls und x c x u oder a ist der gesuchte Winkel, 
den der Lichtstrahl als Raumlinie mit seiner Horizontal 
projektion einschliesst. Er erweist sich als der kleinere 
Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen vertikale 
Kathete gleich einem beliebigen Mass a und dessen hori 
zontale Kathete die Diagonale eines Quadrats über a oder 
gleich a-Y 2 ist. Die Rechnung ergiebt a — 35 0 15?9 • 
Im folgenden wird die Ableitung dieses 
Winkels immer mit Figur 38 c erscheinen. 
b) Was im vorhergehenden über die a 
Benützung der Projektion auf die hori 
zontalprojizierende (vertikalstehende) 
Lichtstrahlenebene gesagt worden ist, Figur 38 c. 
gilt auch von der vertikalprojizierenden. 
Auch auf diese wird der Körper, auf dem die Schatten 
grenzen zu suchen sind, zuweilen projiziert gedacht und 
dann die Projektion in die Vertikal ebene umgeklappt. Auch 
in dieser Umklappung bildet die Lichtstrahlprojektion mit 
der ursprünglichen Vertikalprojektion des Lichtstrahls den 
zuvor bestimmten Winkel a — 35 0 15,9'. Figur 65 b bietet 
ein später näher zu erklärendes Beispiel. 
VI. Schatten auf Cylinder- und Kegelflächen. 
Cy linder flächen senkrechtzu einer Grundebene 89. 
behandelt wie Prismen. 
Schatten auf Cylinderflächen, wenn diese vertikal oder 
senkrecht zur Vertikalebene oder parallel zum Grund 
schnitt gerichtet sind, wurden schon bei den prismatischen 
Flächen derselben Richtung mitbehandelt (Art. 22, 23 u. 25), 
indem Gylinderflächen in diesen Lagen aufgefasst werden 
können als Prismen mit sehr vielen Seitentlächen. Die 
hieraus entspringenden Lösungen sind zugleich besondere 
Formen der allgemeinen Lösung für Schatten aut ge 
krümmten Flächen, beziehungsweise ihrer Umkehrungen 
mit Vertauschung von Grundriss und Aufriss oder mit 
Ersatz des Grundplans durch die Seitenprojektion. 
Die Figuren 39 a und 39 b bringen das Prinzip der 
Lösung für die zwei ersten Fälle perspektivisch zur An- 
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