Kapitel VII. Artikel 57. 
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gleich «y 2 , das heisst gleich der Diagonale eines Qua 
drats über a. Die Berührungspunkte dieser zwei Tan 
genten seien g'n und h'„; durch das Zurückklappen dieser 
Punkte in ihre ursprüngliche Meridianebene findet sich 
die Lage der Körperschattengrenzpunkte gg‘ und hh\ die 
um so wichtiger sind % als die horizontalen Parallelkreise 
im Aufriss, die zum Zurückklappen dienen, zugleich Tan 
genten an der Grenzkurve in diesen Punkten darstellen. 
In den Grundrisspunkten g und h hat die Grenzkurve im 
Grundriss eine kurze Symmetralachse, wogegen der senk 
rechte Durchmesser e f eine grosse Symmetralachse dar 
stellt. 
Ganz dieselbe Betrachtung führt zu den 8 Punkten 
der Wulstfläche mit konkavem Meridian, Fig. 56g. Wie 
bei diesen Wulstflächen, so lassen sich für alle anderen 
Drehungsflächen die wichtigsten Punkte der Körper 
schattengrenze rasch bestimmen. Auch für die Schlag 
schattengrenze, die bei Drehungsflächen mit Selbstbeschat 
tung hinzutritt, führt die Betrachtung der vertikalen Licht 
strahlenebene, die durch die Achse geht, und die Er 
wägung der Symmetrie der ganzen Schattierung in Be 
ziehung auf diese Ebene zu einigen Schlüssen, so dass 
sich im Zusammenhang mit Art. 34 über den Verlauf der 
Schattengrenzen auf Drehungsflächen mit vertikaler Achse 
die in Art. 63 gegebenen Sätze zusammenstellen lassen. 
Die Anpassung dieser Sätze an die Lagen der Drehungs 
achsen senkrecht zur Vertikalebene und parallel zum 
Grundschnitt bedarf keiner Erklärung. 
ö 7. Drittes Verfahren für Körperschatten grenzen 
auf Drehungsflächen, mit Hilfe von berüh 
renden Kugeln. 
Der Anschauung vielleicht minder leicht zugänglich, 
aber in der Ausführung einfacher und raumsparender ist 
ein drittes Verfahren zur Bestimmung der Körperschatten 
grenzen auf Drehungsflächen, nämlich dasjenige mit be 
rührenden Kugeln. Jede Drehungsfläche kann aufgefasst 
werden als umhüllt von Kugeln verschiedener Grösse, 
deren Mittelpunkte auf der Achse der Drehungsfläche lie 
gen und von denen jede die Fläche nach einem Parallel 
kreis berührt, längs welchem jeder Kugelradius normal 
zum zugehörigen Meridian der Fläche gerichtet ist. Einen 
solchen Parallelkreis (f'g‘ in Figur 57 a) kann man eben 
sowohl als eine sehr niedrige Zone der Kugel wie der 
Drehungsfläche auffassen, und wo die Schattengrenze 
darauf erscheint als auf einer Zone der Kugel, da muss 
sie auch liegen als Bestandteil der Schattengrenze der 
Drehungsfläche. 
Hier ist vorauszunehmen, was erst später (in Art. 66) 
ausgeführt wird, aber eines Beweises nicht bedarf, näm 
lich dass die Körperschattengrenze auf der Vollkugel ein 
Grosskreis senkrecht zur Lichtrichtung ist. Im Grundriss 
und Aufriss der Kugel (Figur 57 a) projiziert sich dieser 
Grosskreis als eine Ellipse, deren grosse Achse ein Durch 
messer der Kugelprojektion senkrecht zur Lichtstrahl 
projektion ist. Die grosse Achse der einen Projektion 
projiziert sich in der andern Projektion horizontal. Wo 
diese Ellipse im Grundriss oder Aufriss geschnitten wird 
von der Projektion eines der zuvor genannten Parallel 
kreise f‘g\ da ist ein Schattenpunkt auch für die Dre 
hungsfläche. Die Grosskreisebene schneidet — wenn die 
Drehachse vertikal vorausgesetzt wird — die horizontale 
Parallelkreisebene nach einer gemeinschaftlichen Sehne 
m n, die wie die Grosskreisebene selbst normal zur Licht 
richtung steht, also im Grundriss normal zur Lichtstrahl 
projektion erscheint. 
Sobald der Parallelkreis f g in Aufriss und Grund 
riss der Drehungsfläche gezeichnet und die Normale der 
Meridianlinie f‘ o‘ (als Kugelradius gedacht) gezogen ist, 
lassen sich nun die auf dem Parallelkreis liegenden Kör 
perschattengrenzpunkte m und n rasch bestimmen, ohne 
dass die Kugelprojektionen und die Ellipsen gezeichnet 
werden müssten. Man zieht (Figur 57 b) im Aufriss <?'/>' 
senkrecht zur Lichtstrahlprojektion und im Grundriss den 
Radius 0 r horizontal, lotet p‘ in den Grundriss auf 0 r 
nach /, zieht durch p die Sehne senkrecht zur Lichtstrahl 
projektion, erhält dadurch auf dem Parallelkreis m und n 
und lotet diese Punkte hinauf nach vi‘ und n‘. mm' und 
nn‘ sind Körperschattengrenzpunkte der Drehungsfläche.