Kapitel VII. Artikel 63, 64. 
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verwandte und kombinierbare Körperschattenbestimmung 
nach Art. 59. 
63. Sätze über den Verlauf der Schattengrenzen 
auf Drehungsflächen mit vertikaler Achse. 
a) Soweit der Umriss einer Drehungsfläche durch 
Meridiane gebildet ist, beginnen und endigen die Körper 
schattengrenzkurven im Aufriss an den Berührungspunk 
ten der am Umriss tangierenden Lichtstrahlprojektionen. 
Die Kurven gehen in diesen Punkten mit Berührung am 
Umriss von ihrem sichtbaren Teil zum unsichtbaren über; 
doch ist die Berührung häufig eine solche von sehr kleinem 
Krümmungshalbmesser, so dass sie sich von einem Schnitt 
wenig unterscheidet. Die Grundrisse dieser Punkte liegen 
auf dem horizontalen Durchmesser des Grundplans. 
b) Jedem solchen Kurvenpunkt entspricht ein gleich 
hoch liegender auf dem Aufriss der Achse des Drehungs 
körpers, da die Grenzkurve im Raum symmetrisch ist zu 
einer Lichtstrahlenebene, die durch die Achse gelegt wird. 
Die Grundrisse dieser Punkte liegen auf dem vertikalen 
Durchmesser des Grundplans und auf denselben Parallel 
kreisen wie die vorigen, wie überhaupt die ganze Grenz 
kurve im Grundriss symmetrisch ist zum Durchmesser 
lichtstrahl. 
c) Wo der Umriss der Drehungsfläche eine vertikale 
Tangente hat, da finden sich die Schattenpunkte auf dem 
zugehörigen Parallelkreis da, wo die schattenabgrenzen- 
den Mantellinien eines vertikalen Cylinders mit diesem 
Kreis als Basis liegen würden. Im Grundriss berührt im 
allgemeinen die Schattengrenzlinie in diesen Punkten 
deren Parallelkreis und geht, wenn dieser den Umriss 
bildet, vom sichtbaren Teil zum unsichtbaren über. 
d) Die höchsten und tiefsten Punkte der Körper 
schattengrenze liegen im Grundriss auf einem parallel 
zum Lichtstrahl gezogenen Durchmesser. Ferner liegen 
diese Punkte auf denselben Parallelkreisen wie die Be 
rührungspunkte von Tangenten, die im Aufriss unter dem 
Lichtstrahlenneigungswinkel a = 35 0 15,9' (s. Art. 38) an 
den Umriss der Drehungsfläche gezogen werden. Aus 
diesen zwei geometrischen Orten ergeben sich die Punkte 
in beiden Projektionen. 
e) Schlagschattengrenzen, die vom Körper selbst ge 
worfen werden, gehen im Grundriss und Aufriss berührend 
am Umriss vom sichtbaren Teil zum unsichtbaren über. 
Im Aufriss liegen die auf die Achse fallenden Kurven 
punkte gleichhoch mit den Berührungspunkten am Um 
riss, da auch die Schlagschattenkurve im Raum sym 
metrisch ist zur Lichtstrahlenmeridianebene. Aus dem 
selben Grund erscheint der Grundriss der Schlagschatten 
kurve symmetrisch zum Durchmesserlichtstrahl. 
f) Der höchste Punkt einer solchen Selbstbeschat 
tungsgrenze liegt im Grundriss auf dem Durchmesser 
lichtstrahl. Ferner liegt der Punkt auf demselben Parallel 
kreis wie der Schnittpunkt, welchen die unter d) genannte 
Tangente mit dem Umriss der Drehungsfläche bildet. 
g) Endpunkte einer Selbstbeschattungsgrenzlinie an 
deren Anstossen an einer Körperschattengrenzlinie sind 
meist zugleich Berührungspunkte zwischen der Schlag 
schattengrenze und einem Lichtstrahl, das heisst die 
Schlagschattengrenze hat an ihrem Endpunkt eine Tan 
gente von 45 0 Neigung (sowohl im Grundriss als im Auf 
riss). Die Erscheinung findet sich da, wo die Schlag 
schattengrenze, als Schnitt des Lichtstrahlencylinders mit 
der Drehungsfläche aufgefasst und in dieser Eigenschaft 
fortgesetzt gedacht, über den letzten Lichtstrahl, den sie 
erreicht, nicht hinausgehen könnte, weil er die äusserste 
Mantellinie des Lichtstrahlencylinders bildet. 
Schatten auf Drehungsflächen mitschiefgerich- 64. 
teter, aber einer Grundebene gleichlaufen 
der Achse. 
Wenn die Achse einer Drehungsfläche beliebig 
schiefgerichtet ist, so projizieren sich bei Anwendung der 
allgemeinen Lösung aus Art. 30 die Parallelkreise, die 
zum Aufsuchen der Durchschnitte des Körpers mit den 
Lichtstrahlenebenen dienen, im Grundriss und Aufriss als 
Ellipsen und das Verfahren wird dann sehr bemühend; 
ja schon das Zeichnen der Umrisslinien solcher Drehungs 
flächen ist eine grosse Arbeit. Doch kommen in den 
technischen Darstellungen Drehungsflächen — wenn über 
haupt schiefgerichtet — meist nur derart vor, dass ihre 
Achse einer Grundebene parallel ist, so dass sich die 
Parallelkreise auf dieser Grundebene als gerade Linien 
projizieren, und für diesen Fall giebt es ein Mittel, die 
Konstruktion der Ellipsen, als welche die Parallelkreise 
in der andern Grundebene sich projizieren würden, zu 
umgehen. Ist z. B. die schiefgerichtete Achse der Ver 
tikalebene parallel, so führt man eine neue Horizontal 
ebene ein, die senkrecht zur Drehungsachse steht, auf 
welcher also die Parallelkreise sich als Kreise projizieren, und 
bestimmt die Richtungen der beiden Projektionen, welche 
der Lichtstrahl gegenüber dem neuen Grundschnitt an 
nimmt. Wie sich die Drehungsfläche schattiert im neuen 
Grundebenensystem mit den neuen Lichtstrahlprojektionen, 
so muss sie sich auch im ursprünglichen Grundebenen 
system mit den ursprünglichen Lichtstrahlenprojektionen 
schattieren, da ja durch Aenderung der Projektionsebene 
die Richtung des Lichtstrahls gegenüber der Fläche nicht 
geändert wird. 
Es handelt sich nun um die Bestimmung der Licht 
strahlprojektionen im neuen Grundebenensystem. Die 
neue Vertikalprojektion des Lichtstrahls bleibt gegen 
über der Drehungsachse in derselben Richtung wie zu 
vor, weil ja die Vertikalebene unveränderlich bleibt; es 
ändert sich nur der Winkel, den der Grundschnitt mit 
dieser Projektion bildet. — Zur Bestimmung der neuen 
Horizontalprojektion dient folgende Betrachtung: Da 
die ursprüngliche Vertikalebene bleibt, so bleiben auch 
die ursprünglichen horizontalen Entfernungen aller Punkte 
eines Lichtstrahls von der Vertikalebene dieselben wie 
zuvor. Diese Entfernungen erscheinen ebensowohl im 
neuen Grundriss in ihrer wahren Grösse als im ur 
sprünglichen Grundriss, da sie der neuen Horizontal 
ebene ebensowohl parallel sind wie der ursprünglichen. 
Man hat also nur auf einem beliebigen Lichtstrahl 
des ursprünglichen Grundebenensystems zwei beliebige