Kapitel VIII. Artikel 67, 68. 
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’ biert noch den äussersten Teil, so sind die Ordinaten y 
in den Teilpunkten die folgenden, wenn die Länge der 
grossen Halbachse oder der Kugelhalbmesser = 1 ge 
setzt wird. 
Im ersten Punkt y Q = 0,577 rund 0,58 (kleine Halbachse); 
>> 
zweiten ,, 
y I = 0,559 
„ 0,56 
dritten „ 
y 2 = 0,500 
„ 0,50 
vierten „ 
y 3 = 0,382 
„ 0,38 
fünften ,, 
y 4 = 0,280 
„ 0,28 
5) 
Endpunkt 
0 
II 
„ 0. 
Was für die Grundrissellipse des Kugelkörperschat 
tens in Beziehung auf Richtung und Grösse gesagt ist, 
gilt völlig unverändert auch für die 
Aufrissellipse, wofern nur die Vertikal 
projektion des Lichtstrahls an die 
Stelle seiner Horizontalprojektion ge 
setzt wird. Die Aufrissellipse ist kon 
gruent der Grundrissellipse, und ihre 
grosse Achse steht ebenfalls senkrecht 
zur Lichtstrahlprojektion. 
Zum raschen Aufzeichnen der 
Ellipsen bei Darstellungen in kleinerem Massstab genügt 
oft schon die Angabe der vier Krümmungskreise in den 
Scheiteln, wobei die Radien nach der unten in Art. 68f 
angegebenen Konstruktion zu bestimmen sind und die 
zwischenliegenden Teile des Ellipsenumfangs nach Schätz 
ung eingefügt werden. 
.Behandlung der Kugel als Drehungsfläche. 
In manchen Fällen ist es zweckmässig, die Kugel 
fläche als Drehungsfläche mit Achse senkrecht zu einer 
Grundebene aufzufassen und von der Eigenschaft ihrer 
zum Lichtstrahl parallelen Schnitte als Kreislinien keinen 
Gebrauch zu machen. Dies gilt besonders dann, wenn 
die in Art. 61 für Drehungsflächen beschriebene Lösung 
mit Parallelkreisschnitten und den kongruenten Schlag 
schatten auf deren Ebenen Anwendung linden kann. So 
Hesse sich z. B. auf dem in 65 d gezeichneten Beispiel, 
ferner in dem als Höhenschnitt gezeichneten, oben kreis 
förmig offenen Kuppelgewölbe mit kugelförmiger Leibung 
in 65 g die Selbtsbeschattung mit solchen Parallelkreis 
schnitten bestimmen. Auch die Betrachtung der Parallel 
kreisschnitte der Kugel als niedriger Kegelzonen, wie bei 
den Drehungsflächen nach Art. 56, kann in manchen 
Fällen rascher zum Ziel führen als die Umklappung von 
Schnittebenen parallel zum Lichtstrahl, indem sie mit der 
ebengenannten Schlagschattenbestimmung verbunden die 
Körperschattengrenze liefert. 
Oft verwertbare Hilfskonstruktionen für die OS. 
Ellipse und ihre Tangenten. 
Da die Ellipse sowohl als Schattengrenzlinie auf Kugel 
flächen, Cylinderflächen, Kegelflächen, wie auch als Kante 
und Hilfslinie bei den Schattenkonstruktionen auf diesen 
und anderen Körpern samt ihren Tangenten sehr häufig 
zu zeichnen ist, so sind im folgenden einige oft verwert 
bare Hilfskonstruktionen für die Linie selbst, wie für die 
scharfe Bestimmung von Tangenten und Berührungs 
punkten eingeschaltet. In der letzten Beziehung sind 
auch andere Kurven berücksichtigt. 
a) Ellipsenkonstruktion; gegeben beide Ach 
sen. Man beschreibt um den Schnittpunkt beider Achsen 
zwei Kreise mit den Halbachsen als Radien. Man zieht 
eine Anzahl beliebiger gemeinschaftlicher Radien beider 
Kreise. Für jeden solchen Halbmesser zieht man durch 
seinen Endpunkt auf dem grösseren Kreis eine Parallele 
zur kleinen Achse und durch seinen Punkt auf dem 
kleineren Kreis eine Parallele zur grossen Achse. Der 
Schnittpunkt je zweier zu demselben Halbmesser ge 
höriger Parallelen ist ein Ellipsenpunkt. — Da sich bei 
dieser Konstruktion alle zu benützenden Punkte aus einem 
rechtwinkligen Schnitt zweier Linien ergeben, so liefert 
sie die Ellipsenpunkte mit grosser Sicherheit. 
b) Ellipsen konstruktion; gegeben beide Ach 
sen. Man trägt auf einem Papierstreifen von einem Punkt 
p aus die grosse Halbachse p a und in derselben Rich 
tung die kleine Halbachse p b auf, so dass in dem Stück 
a b die Differenz beider Halbachsen erscheint. Man legt 
nun in verschiedenen Richtungen nacheinander den Papier- 
Streifen so an, dass der Punkt a auf eine kleine Halb 
achse, der Punkt b auf eine grosse fällt. In jeder solchen 
Lage giebt der Punkt p einen Ellipsenpunkt an. Diese 
Konstruktion liefert die Ellipsenpunkte zwar rascher, aber 
weit weniger zuverlässig als die erste, letzteres besonders 
bei geringem Unterschied beider Halbachsen. Immerhin 
ist sie zum praktischen Schattenkonstruieren meist aus 
reichend, wenn nicht andere Resultate aus der Ellipse 
abzuleiten sind. 
c) Ellipsenkonstruktion; gegeben beide Ach- 
sen., Man durchschneidet die grosse Achse von den End 
punkten der kleinen Achse aus mit Kreisbögen, deren 
Halbmesser gleich der grossen Halbachse ist. Die zwei 
Schnittpunkte sind die Brennpunkte der Ellipse. Man be 
schreibt nun aus dem einen Brennpunkt einen Kreisbogen 
mit einem beliebigen Bruchteil der grossen Achse, aus 
dem andern einen Kreisbogen mit dem Rest der grossen 
Achse; beide Kreisbögen schneiden sich in einem Ellipsen-